Exercice de maths

[Carla]

Bonjour, je m'adresse à vous car j'ai un problème pour résoudre un exercice de maths:
On considère la fonction f définie par f(x) = e^x-1/e^x-x
1) a. Démontrer que pour tout réel x, e^x - x >= 1, justifier alors que f est définie sur R.
b. déterminer les limites de f en -∞ et +∞
c. calculer f'(x)
2)Etude du signe d'une fonction auxiliaire P. on considère la fonction P définie sur R par P(x)= (2-x)e^x-1
a. Établir le tableau de variations de P (limites comprises).
b. Démontrer que l'équation P(x)=0 admet exactement deux solutions a et B avec a<B
c. A l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de a d'amplitude 10^-2. Faire de même avec B.
d. montrer que e^a= 1/2-a
3)a. Etudier les variations de f
b. Montrer que f(a) = 1/a-1

J'ai répondu a la question 1)a et j'ai trouvé 0 comme lim en -∞ et 1 en +∞
En revanche je ne suis pas sure de moi pour la dérivée de la fonction f j'ai trouvé a l'aide de (u/v)' -xe^x+2e^x-1/(e^x-e)²
et je n’arrive pas a faire la question 2 pourriez vous m'aider s'il vous plait ?
Merci d'avance et à bientôt.

[sos-math(28)]

On considère la fonction f définie par f(x) = e^x-1/e^x-x

Bonsoir Carla
To énoncé n'est pas clair du tout. Il manque probablement des parenthèses.
Ce que tu écris correspond à \(e^x-\frac{1}{e^x}-x\) et je ne penses pas que cela le bon énoncé.
C'est peut-être : \(e^x-\frac{1}{e^x-x}\) ou même \(\frac{e^x-1}{e^x-x}\)
Pour ta dérivée il y a certainement aussi un problème de parenthèses et le fait d'avoir e tout seul est peu probable.
Pour la question 2 il faut étudier le signe de la fonction dérivée (un classique !)
Bon courage

[Carla]

Bonsoir,
Désolé effectivement il s'agit bien de (e^x-1)/(e^x-x).
voilà mon calcul de dérivée : [ e^x(e^x - x)-(e^x - 1)²]/(e^x - x )² = [e^2x - xe^x - (e^2x -2e^x +1)]/ (e^x -x)² = [e^2x - xe^x-e^2x + 2e^x -1]/(e^x -x)² = [-xe^x +2e^x -1]/(e^x -x)²

pour la question c'est effectivement ce que j'ai fait mais mon résultat me paraît bizarre le voici : -3e^x-xe^x

[sos-math(20)]

La dérivée de f est bien : \(f'(x)= \frac{-xe^x +2e^x -1}{(e^x -x)^2}\).
Je ne comprends pas ce que vous avez voulu dire ensuite; ce résultat de dérivée est tout à fait cohérent avec la fonction auxiliaire définie dans la question suivante.

SOS-math

[Carla]

D'accord,
Mais en fait je ne vois pas comment m'y prendre pour les questions suivantes notamment le tableau de variation et les deux solutions.

[sos-math(20)]

Un résultat fondamental que vous devez connaître : pour étudier les variations d'une fonction, on calcule sa dérivée puis on en étudie le signe; c'est ce que vous devez faire avec la fonction P.

Bon courage

SOS-math