Etude d'une fonction exponentielle

[Solsha]

Bonsoir,

Je rencontre quelques difficultés dans l'étude d'une fonction de forme exponentielle.

Soit g(x) = e^x - x - 1 définie sur [0;+inf[

Il faut tout d'abord étudier les variations de g. Je commence donc par dire pourquoi et sur quel intervalle g est dérivable, puis je calcule la dérivée de g et étudie son signe pour finir avec la construction du tableau de variations de la fonction.

Or, je ne sais pas exactement où la fonction est dérivable ou plutôt comment justifier car je dirais qu'elle est dérivable sur R vu que e^x est dérivable sur R mais comment justifier pour le reste de la fonction ?

Puis pour g'(x) je trouve e^x-1

Pour le signe je ne sais pas non plus comment clairement l'étudier ... Inéquation ?

Merci d'avance pour votre aide !

[sos-math(21)]

Bonjour,
Ta fonction est bien définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) donc elle l'est sur \([0\,;\,+\infty[\).
Ta dérivée est correcte et pour étudier le signe de cette dérivée, il faut effectivement résoudre une inéquation : \(e^x-1\geq 0\) ce qui donne \(e^x\geq 1\)
Ce qu'on peut écrire \(e^x\geq e^0\), cela devrait t'aider à conclure.
Bonne continuation

[Solsha]

Merci !

Ensuite je dois déterminer le signe de g(x) selon les valeurs de x. Donc puisque g est strictement croissante sur [0;+inf[, on en déduit qu'elle est strictement positive ?

Puis en déduire que pour tout x de [0;+inf[, e^x-x-1 > 0, je ne sais pas comment répondre ici ... Merci encore !

[sos-math(21)]

Attention,
ce que tu affirmes est faux :

puisque g est strictement croissante sur [0;+inf[, on en déduit qu'elle est strictement positive

Étudie les variations de g et à l'aide du tableau de variation, trouve le signe de g(x).
ta fonction g n'est pas croissante, il y a deux sens de variation et g possède un minimum....
Reprends cela et dis moi ce que tu as fait exactement.

[Solsha]

Je n'ai pas trouvé qu'il y avait deux sens de variations sachant que la fonction est définie sur [0;+inf[

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Solsha,

En effet en travaillant sur [0 ; + inf[, la fonction g est strictement croissante.

Quelle est le minimum de g(x) sur [0 ; + inf[ ? (Utilise le tableau de variation de g).

SoSMath.

[Solsha]

C'est 1. Donc g est strictement positive, non ?

[sos-math(21)]

Oui, c'est à peu près cela, ta fonction g atteint son minimum en \(x=0\) et ce minimum vaut \(g(0)=e^0-0-1=1-1=0\). Pour tout réel, tu as donc \(g(x)\geq 0\).
Bonne conclusion

[Solsha]

Merci !

Ensuite je dois en déduire que pour tout x de [0;+inf[, e^x-x-1 > 0

Comment faire ?

[sos-math(21)]

C'est simplement une interprétation de ce qu'on vient de dire : on a montré que pour tout réel \(x\), \(g(x)\geq 0\), l'égalité n'ayant lieu que pour \(x=0\).
Donc sur l'intervalle \([0\,;\,+\infty[\), il ne peut pas y avoir l'inégalité stricte.
Ce serait valable sur l'intervalle ouvert \(]0\,;\,+\infty[\)...
Bonne continuation

[Solsha]

Oui mais je dois "en déduire" donc prouver.

[sos-math(21)]

Tu le prouves en interprétant le tableau de variation : le minimum de la fonction g est 0, donc pour tout réel \(x\), \(g(x)\geq 0\).
Je ne vois pas ce qu'on peut dire d'autre....

[Solsha]

Je vais me débrouiller avec ça, merci pour votre aide !