SOS-MATH

Bonjour

Dans mon cours il y a écrit:
Si f(x)<=g(x) au voisinage de a et si f et g admettent une limite en a alors: limf<=limg quand x tend vers a.

Ma prof ns a dit que la réciproque de ce théorème est fausse, je ne vois pas pourquoi, pouvez vous me donner un exemple svp

Merci à vous

Bonjour,

si l'inégalité est large sur les limites, elle peut être stricte sur les fonctions.

Exemple :

f(x)=1/x et g(x)=1/x^2

lim f = lim g = 0 en +inf

Et pourtant g<f.

En espérant avoir été clair.

A bientôt.

Mais quelle est la réciproque de ce théorème ?

Car que l'inégalité soit stricte ou pas (dans votre exemple) ceci ne change rien car f <=g "peut englober" f<g non ? Mais ceci dépend de la façon dont est énoncé la réciproque.

Bonsoir,
Si tu regardes les deux fonctions \(f(x)=\frac{sin(x)}{x}\) et \(g(x)=\frac{cos(x)}{x}\) alors ces deux fonctions vérifient une limite égale à 0 en \(+\infty\).
On a bien : \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\leq \lim_{x\to+\infty} g(x)\), or il n'existe pas de voisinage de \(+\infty\) tel que \(f(x)\leq g(x)\).
Est-ce plus clair ?
En gros ce théorème dit que ce que l'ordre dans un voisinage est conservé au sens large par passage à la limite mais l'ordre sur les limites ne donne aucune information en général sur l'ordre des fonctions étudiées.
Bonne continuation