SOS-MATH

Bonjour,

On considère les propositions Pn et Qn suivantes :

Pn : "3 divise 4^n-1" et Qn : "3 divise 4^n+1"

1. Démontrer que si Pn est vraie alors Pn+1 est vraie. n

2. De même pour Qn.

3. Vérifier que P0 est vraie.
Que peut-on en déduire ?

Je ne sais pas comment procéder avec ce genre de démonstrations, pourriez vous m'aider ?

Merci d'avance !

Bonjour,

Ici il faut utiliser une démonstration par récurrence.

Une difficulté est de traduire en mathématiques l'hypothèse de récurrence :

Dire qu'un nombre est multiple de 3 c'est dire qu'il peut s'écrire sous la forme \(3k\) avec k un nombre entier....

Bon courage !

D'accord mais comment faire pour écrire 4^n-1 sous la forme 3k ?

En effet, tu supposes que cette propriété est vraie au rang n soit :

\(4^n - 1\) est un multiple de 3.

Autrement dit :

Il existe un nombre entier \(k\) tel que \(4^n - 1 = 3k\).... Voici ton hypothèse de récurrence.

A bientôt !

D'accord, merci. En fait je ne sais pas du tout comment procéder car c'est le premier exercice de ce type que je réalise ...

Bonsoir Solsha,

Cet exercice devrait te permettre de comprendre le principe de la démonstration par récurrence.
Tu supposes que ta propriété est vraie au rang n. C'est à dire que 3 divise \(4^{n}-1\) soit encore qu'il existe un nombre \(k\) tel que \(4^{n}-1=3k\)
En partant de cette donnée, il faut démontrer que 3 divise \(4^{n+1}-1\).

Je te laisse réfléchir.
Bon courage.