Démontrer par récurrence

[Solsha]

Bonjour,

On considère la suite Un définie sur N par :

\((Un)= \left\{\begin{matrix} U_{0}=8\\U_{n+1}=\frac{2}{5}Un+3 \end{matrix}\right.\)

Démontrer que pour tout entier naturel n : \(U_{n}=3(\frac{2}{5})^{n}+5\)

Je fais l'initialisation pour n= 0 puisque c'est pour tout entier naturel n et trouve que c'est vrai pour U0.

Je dois ensuite prouver que si c'est vrai pour n, alors c'est vrai pour n+1. J'admets donc l'hypothèse que et je dois prouver que \(U_{n+1}=3\left ( \frac{2}5{} \right )^{n}+5\)

En me servant de l'énoncé "j'incorpore" progressivement Un+1 ...

\(U_{n}= 3(\frac{2}{5})^{n}+5\)
\(U_{n+3}=3(\frac{2}{5})^{n}+8\)
\(U_{n}+3+\frac{2}{5}U_{n}=3\left ( \frac{2}{5} \right )^{n}+8+\frac{2}{5}U_{n}\)
\(\frac{7}{5}U_{n}+3=3\left ( \frac{2}{5} \right )^{n}+8\)
\(U_{n}+3=3\left ( \frac{2}{5} \right )^{n}+8\)
\(U_{n}=3\left ( \frac{2}{5} \right )^{n}+5\)

J'en arrive donc à Un et j'en déduis que c'est vrai mais je suis censée trouver que c'est vrai pour Un+1 donc ...
Je ne sais pas si c'est juste, pourriez vous m'aider, me guider ?

Merci d'avance !

[SoS-Math(25)]

Bonjour,

J'ai l'impression que tu tournes en rond... C'est pour cela que tu reviens au point de départ et du coup, tu ne montres pas grand chose.

Attention à ne pas confondre : \(U_{n+3}\) et \(U_{n}+3\).

Pour avancer, tu peux partir directement de \(U_{n+1}\) puis, incorporer ton hypothèse de récurrence :

En reprenant la définition de ta suite :

\(U_{n+1}=\frac{2}{5}U_n+3\)

Ainsi, tu as déjà \(U_{n+1}\). Il reste à injecter ton hypothèse...

Bon courage !

[Solsha]

Je dois donc résoudre \(U_{n+1}=\frac{2}{5}(3\left ( \frac{2}{5} \right )^{n}+5)+3\) ?

[SoS-Math(25)]

C'est cela !

"Résoudre" n'est pas exactement l'action à effectuer...

J'admets donc l'hypothèse que et je dois prouver que \(U_{n+1}=3\left ( \frac{2}5{} \right )^{n}+5\)

Tu y es presque mais il y a une petite erreur encore :

! Attention !

Si \(U_{n}=3\left ( \frac{2}5{} \right )^{n}+5\) alors \(U_{n+1}=...\) ?

[Solsha]

Alors \(U_{n+1}= 3\left ( \frac{2}{5} \right )^{n+1}+5\)

Mais comment faire ensuite ?

[Solsha]

Je trouve que c'est vrai pour Un+1. Comment conclure ?

[SoS-Math(25)]

Tu as utilisé le principe de récurrence... Donc :

Initialisation OK ?

Hérédité OK ? (Tu as supposé que \(U_{n}=3\left ( \frac{2}5{} \right )^{n}+5\) et tu as montré (en partant de \(U_{n+1}=\frac{2}{5}U_n+3\) que \(U_{n+1}= 3\left ( \frac{2}{5} \right )^{n+1}+5\))

Si oui, alors cette propriété est vraie pour tout n !

A bientôt !

[Solsha]

Merci Beaucoup.

Donc je peux conclure comme ceci par exemple :

Puisque c'est vrai en n et héréditaire, c'est vrai pour tout n appartenant à N.

[Solsha]

Merci Beaucoup.

Donc je peux conclure comme ceci par exemple :

Puisque c'est vrai en n et héréditaire, c'est vrai pour tout n appartenant à N.

[SoS-Math(25)]

Inutile d'envoyer deux fois le même message....

Sans oublier que l'initialisation est vraie, tu peux conclure à l'aide du principe de récurrence.

Bon travail et à bientôt !