SOS-MATH

Bonjour

Je me pose quelques questions concernant les suites récurrentes :

- La définition séquentielle de la limite est un cas particulier de composition de limite ?

- Selon l'intervalle stable choisi pour étudier la suite, la suite n'aura pas le même comportement ?

- Lorsqu'on cherche un intervalle stable, il faut nécessairement que l (f(l)=l) fasse parti de l'intervalle ?

- Dans la correction d'un exercice, il y a écrit u(n+1)=(u(n))²/4+1 et u(0) appartient à R; f est paire ce qui prouve que la suite (un) ne dépend que de |u0|; je ne comprends pas pourquoi le fait que la fonction soit paire on peut déduire ceci ?


Merci de m'éclairer

Bonjour Quentin,

Pour la première question je dirais que non ce n'est pas un cas particulier, cela signifie seulement que la limite est atteinte pour toute suite de nombres qui tend vers a. Toutefois cela utilise la composition !
Mais ce qui est important c'est cette propriété :
Soit f une fonction définie au voisinage de a réel. Soit l réel. Les propositions suivantes sont équivalentes :
(i) la limite quand x tend vers a de f est égale à l.
(ii) Pour toute suite (un) à valeurs dans Df de limite a, (f(un)) a pour limite l quand n tend vers l'infini

La suite a toujours le même comportement mais il peut y avoir certaines propriétés perdues lorsque l'on restreint l'intervalle stable.

La limite n'est pas obligatoirement un élément de l'intervalle stable, pourtant :
Soit f une fonction continue sur I et [a,b] un intervalle stable, dans I, par f. Alors f possède un point fixe appartenant à [a;b].

En effet, posons g(x) = f(x)−x. On peut appliquer le théorème de la valeur intermédiaire à g sur [a;b]

Pour la suite donnée f(x)=x donne (x-2)²=0 on a donc deux cas : si u0 vaut 2 ou -2 la suite est constante égale à 2 (à partir de u1 pour -2) ; si -2< u0 < 2 la suite converge vers 2 sinon elle diverge vers plus l'infini.
Ce n'est pas le fait qu'elle soit paire qui fait que son comportement est induit par u0 c'est plus le fait que f(x) = x admette une seule racine et bien sur le fait d'avoir une fonction paire on n'a pas de divergence vers moins l'infini ni de suite alternée.

Bonne continuation,