SOS-MATH

Bonjour à vous, j'ai un exercice pour la rentrée sur les fonctions, et je ne comprends pas du tout. Voici l'énoncé :


Une entreprise fabrique chaque mois x tonnes d'un certain produit, avec x appartenant à l'intervalle ]0;6].
Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros pour une production mensuelle de x tonnes est donné par C(x), où C est la fonction définie par :
C(x) = \frac{0,01e^{x}+2}{x}.

1) A l'aide de la calculatrice :
a) conjecturez en terme de variations l'évolution du coût moyen de fabrication sur l'intervalle ]0;6]
b) estimez le minimum du coût moyen de fabrication et la production mensuelle correspondante ;
c) dites s'il est possible d'atteindre un coût moyen de fabrication de 4 000 euros. On précisera la méthode utilisée.

2) On désigne C' la fonction dérivée de la fonction C. Montrez que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle ]0;6] : C'(x) = \frac{0,01xe^{x} - 0,01e^{x}-2}{x^2}


3. On considère la fonction f définie sur ]0;6] par : f(x) = 0,01xe^x - 0,01e^{x}-2
On désigne par f' la fonction dérivée de la fonction f.

a) Vérifiez que pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle ]0;6], f'(x) = 0,01xe^x.
b) Justifiez que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]0;6].
c) Justifiez que l'équation f(x) = 0 admet une seule solution a appartenant à l'intervalle [4;5]. Donnez la valeur arrondie au dixième du nombre réel a.
d) Déduisez des résultats précédents le signe de f(x) sur l'intervalle ]0;6].

4) A l'aide des questions précédentes, justifiez que le minimum du coût moyen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de α tonnes du produit.

J'ai fait les questions 1) et 2), mais je bloque sur toute la 3)
J'ai juste trouvé le début de la a) : Le premier terme est de la forme u x v, donc il est de la forme u'v + v'u avec u(x)=0.01x
u'(x)= 0.01
v(x)=e^x
v'(x)=e^x
Merci de votre aide, bonne fin d'après midi

Bonjour Julien,
Tu es bien parti dans ton calcul, pour la dérivée du premier terme, il faut continuer avec : u' * v + u * v'.
Tu peux aussi t'aider en utilisant un calcul formel avec le logiciel Geogebra par exemple.
A plus tard...

Merci de m'avoir répondu

Ce qui me fait f'(x) = 0.01*e^x + e^x*0.01x
= 0.01e^x + 0.01xe^x

Mais je ne comprends pas pourquoi je ne tombe pas sur le résultat attendu..

Et je ne trouve toujours pas comment répondre aux questions suivantes, pourrais-je avoir des indications de votre part s'il vous plait ?

Merci, bonne soirée

C'est que tu oublies la dérivée de -0.01 e^{x}-2 ; cela viendra simplifier ce que tu avais trouvé pour aboutir au bon résultat.
Pour la suite de la question, il faut terminer l'étude des variations de f et utiliser un résultat qui permet de démontrer l'existence de solutions...
A plus tard !

Ah mince, donc c'est f'(x) = 0.01*e^x + e^x*0.01x
= 0.01e^x + 0.01xe^x - 0.01e^x (je n'ai pas mit le 2 car il ne compte pas dans le calcul d'une dérivée, c'est bien ça ?)
= 0.01xe^x

Donc il faut que je fasse un tableau de variations ?

A plus tard !

Oui, je pense que tu peux continuer tranquillement cette partie !
A plus tard

D'accord, merci !
Par contre pour trouver les signes dans le tableau il faut déjà trouver les solutions de ax²+bx+c=0 avec delta=b²-4ac
Mais pour la première fonction dans le tableau : 0.01xe^x-0.01e^x, je sais que c = 2, mais a est ce qu'il est bien égal à 0.01 et b à -0.01 ? Car je suis perdu avec les propriétés pour xe^x etc...
Et pour trouver le signe de a deuxième fonction : -0.01e^x-2 je ne sais pas non plus quelle est la propriété de e^x...

Merci, bon après midi à vous

Merci !
Pour trouver les signes dans le tableau, je sais qu'en peut les trouver en résolvant les fonctions avec delta = b²-4ac, mais pour les 2 fonctions : 0.01xe^x - 0.01e^x-2 et 0.01e^x-2, je ne sais pas comment appliquer les propriétés de "e^x" et "xe^x" pour trouver a,b et c, je sais juste que dans la 2ème fonction que c=2

Merci pour votre aide, bonne soirée

Bonsoir,
il y a des choses qui ne me semblent pas claires : où vois-tu une fonction polynôme du second degré ?
Tous les tableaux de signe ne se font pas avec un discriminant ...
Utilise les questions précédentes pour remplir le tableau de signes.
Bonne continuation

Ah mince.. J'ai tout confondu
Mais j'ai que la fonction dérivée de 0,01xe^x - 0,01e^{x}-2, après je sais qu'une fonction exponentielle de base e est toujours positive quand e^x>0

Merci et bonne soirée à vous

Bonsoir Julien,

Tu viens de montrer que \(f ' (x) = 0,01xe^x\).

Quel est le signe de f ' sur ]0;6] ?

Quel est alors le sens de variation de f sur ]0;6] ?

Quelle est la valeur de f(4) ? de f(5) ?

Avec un tableau de variation et les valeurs précédentes tu dois pouvoir répondre aux questions 3a) b) et c).

Bon courage !

Bonsoir !

f' est positif ?

Donc f est croissant sur ]0;6] ?

Excusez moi, mais justement je n'arrive pas à remplir le tableau de variations, j'ai expliqué mon problème dans les messages d'avant..

Merci beaucoup et bonne soirée !

Bonjour Julien,

Pour remplir ton tableau de variations de la fonction f, il te faut le signe de sa dérivée f '.
Ici l'étude du signe de f ' est simple, car tu as un produit pour f ' : \(0,01x\times e^x\).
De plus le facteur \(e^x\) est toujours positif. Donc f ' est du signe du second facteur 0,01x.
Le signe de ce dernier facteur est simple (voir cours de 2nde sur le signe de ax+b) : pour x<0, 0,01x < 0, pour x=0 0,01x = 0 et pour x>0, 0,01x > 0.
Donc sur ]0, 6], f '(x) >0. Donc sur ]0, 6], f est strictement croissante.

SoSMath.

Merci !

Donc voici comment j'ai fait mon tableau, est-ce bon ? (c'est un brouillon)

Après pour la question c) Justifiez que l'équation f(x) = 0 admet une seule solution a appartenant à l'intervalle [4;5]. Donnez la valeur arrondie au dixième du nombre réel a.
J'ai trouvé grâce à la calculatrice f(4)= -0.36
et f(5)=3.93
La fonction f est continue, strictement croissante, et 0 et compris entre f(4) et f(5), donc f(x)=0 admet bien une seule solution

Par contre je ne sais pas comment trouver la valeur pour ensuite l'arrondir..

Et merci de votre aide, je vous souhaite une bonne journée.

Bonjour Julien,

Ton travail est bon.
Pour trouver une valeur approchée de a, il faut utiliser un programme de dichotomie ou utiliser le tableur de ta calculatrice.
Tu as trouver 4 < a < 5. Avec le tableur :
Tu entres ta fonction f.
Tu fais débuter la table à 4 (voir table set, ou autre nom) avec un pas (ou pitch, ou ...) de 0,1. Tu vas trouver un encadrement de a à 0,1 près.

SoSMath.