SOS-MATH

Bonjour

Je dois démontrer la formule de Bernoulli par récurrence: a^n-b^n=somme de a^(n-1-k) b^k pour k allant de 0 à n-1.
Il faut donc débuter à a^(n+1)-b^(n+1) mais après je ne vois pas comment faire pour l'hérédité.


Merci de bien vouloir m'aider

Bonjour Guillaume,

Je pense que tu as oublié le facteur (a-b) dans ta formule .... \(a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k\).

La démonstration par récurrence n'est pas la plus simple ... voici le début de l'hérédité :

Montrons que \((a-b)\sum_{k=0}^{n}a^{n-k}b^k=a^{n+1}-b^{n+1}\).

On a : \((a-b)\sum_{k=0}^{n}a^{n-k}b^k=(a-b)(\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k}b^k + a^0b^n)=(a-b)(a\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k-1}b^k + b^n)=a(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k-1}b^k+(a-b)b^n\).

Or par hypothèse de récurrence, on a : \(a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k\).

.... je te laisse terminer.

SoSMath.