SOS-MATH

Bonjour,
J'ai un DM a faire pour la rentrée et je bloque sur un exercice.
Je vous remercie pour votre aide

n désigne un entier naturel non nul. fn est la fonction définie sur [0;+ l'infini[ par :fn(x) = (x-n)/(x+n) - e^-x
1) dresser le tableau de variation de fn. Pour cette question je suppose que je dois utiliser la solution u pour f(x)=0 que j'ai trouvé dans la partie A.

2) a) calculer fn(n). Quel est son signe ??
b) démontrer par récurrence que pour tout N, e^n+1 > 2n+1
Pour cette question j'ai dit on sait que e^n+1 > 2n+1 et on veut que e^n+2 > 2n+2, j'ai essayé de recomposer la fonction la fonction mais ça ne fonctionne pas.

c) démontrer que l'équation fn(x)=0 admet une solution unique dans l'intervalle [n, n+1]. On note Un cette solution.

3) Calculer la limite de Un quand n tend vers +l'infini, et la limite de Un/n quand n tend vers +l'infini.

Encore merci de votre aide.

Bonjour Cassandra,

Pour la question 1), as-tu calculé et étudier la dérivée de \(f_n\) ?

Pour la 2)a) : Qu'as-tu trouvé pour \(f_{n}(n)\) ?, quel est le signe de \(e^{-n}\) ?

Pour la 2)b) : Il y a une erreur dans l'inégalité souhaité pour la récurrence : on a \(e^{n+1} > 2n + 1\) et on veut \(e^{(n+1) +1} > 2(n+1) + 1 = ...\) .... Ici, il faut utiliser la propriété de l'exponentielle :
\(e^{(n+1) + 1} = e^{n+1}\times ....\)

Bon courage !

merci de votre aide

1)e^-n est positif sur [0;+l'infini]

pour la 2b) je ne vois pas comment continuer après avoir
e^(n+1)* e^1 > 2(n+1)
je sais que e^1>2 mais après ...

et je ne vois pas comment faire pour la question 2c car d'habitude pour trouver cela on trace la fonction sur la calculatrice et on trouve cette solution en rentrant y=0

En vous remerciant par avance

Bonsoir,
tu as \(e^{n+2}=e^{n+1+1}=e^{n+1}\times e\) or tu sais par hypothèse de récurrence que \(e^{n+1}>2n+1\) donc \(e^{n+2}=e^{n+1}\times e>(2n+1)\times e\)
il te reste alors à comparer \((2n+1)\times e\) avec \(2(n+1)+1=2n+3\).
Qui est le plus grand ?
Pour le savoir, fais la différence entre les deux.
Bon courage

Je vous remercie

Bon courage pour la suite.
A bientôt sur sos-math