SOS-MATH

Bonjour

Dans une correction d'exercice il y a écrit :
Comme 1/3 appartient à [0; 1] et que 2/3=1-1/3 alors le réel 2/3f'(b)+1/3f'(a) est entre f'(a) et f'(b)


Je ne comprends pas du tout cette explication, pouvez m'éclairer svp.

Merci d'avance

Bonjour,
c'est le principe de la définition paramétrique d'un segment :
Le segment \([a\,;\,b]\) est l'ensemble des nombres \((1-t)a+tb\), avec \(t\in[0\,;\,1]\).
En effet dire que \(x\in[a\,;\,b]\) signifie que \(a+t\times (b-a)\) : on part de \(a\) et on rajoute une partie du chemin qui sépare \(a\) de \(b\), c'est-à-dire une partie de \(b-a\), cela signifie que l'on va prendre une partie en multipliant par un nombre compris entre 0 et 1 : ce qui explique le \(t\times(b-a)\).
on peut ensuite transformer cette expression : \(x=a+t(b-a)=a+tb-ta=(1-t)a+tb\).
est-ce plus clair ?
Dans ton cas, \(t=\frac{2}{3}\) donc \((1-t)f'(a)+tf'(b)=(1-\frac{1}{3})f'(a)+\frac{2}{3}f'(b)=\frac{1}{3}f'(a)+\frac{2}{3}f'(b)\).
j'espère que tu as compris.

Merciiii infiniment
je n'ai jamais entendu parler de cette notion, en quelle classe on l'aborde ?

Normalement, c'est plutôt dans le supérieur...
Quel était le contexte de ton exercice ?

Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires; il fallait prouver que 1/3f'(a)+2/3f'(b) appartient à l'intervalle [f'(a), f'(b)] puis utiliser le théorème.
Merci bcp en tout cas

Ok.
On peut aussi s'en sortir en disant que le nombre cherché est le barycentre du système \(\lbrace(f'(a)\,;\,\frac{1}{3})\,,\,(f'(b)\,;\,\frac{2}{3})\rbrace\) et comme les coefficients sont entre 0 et 1, ce nombre est dans le segment [f'(a) ; f'(b)] mais c'est peut-être plus difficile pour toi....
C'est une question difficile en terminale....
Bonne continuation.