SOS-MATH

Bonjour,
Dans un exercice j'ai:
n désigne un entier non nul. fn est la fonction définie sur [o;+∞[ par: fn(x)= [(x-n)/(x+n) ]- e^(-x)
et la premiere question est : Dresser le tableu de variation de fn

Pour répondre a la question, j'ai d'abord essayé de faire avec la dérivée mais je me suis retrouvée avec une dérivée dont je ne pouvais connaitre le signe sans connaitre n, en effet j'obtiens [2n/(x+n)²]+(1/e^x)

J'ai également tenté de transformer l'expression de fn mais j'ai alors obtenu [(x-n)/(x+n)] - (1/e^x) ce qui ne me permet pas non plus d'obtenir un tableu de signe sans connaitre n.

J'espere que vous pourrez m'aider, merci d'avance.

Bonjour,
la démarche de dériver est la bonne : si tu obtiens ta dérivée \(f'_n(x)=\frac{2n}{(x+n)^2}+e^{-x}\) :
On peut connaitre le signe de cette dérivée : 2n est positif, \((x+n)^2\) aussi et \(e^{-x}\) aussi donc ...
Bonne conclusion

Je n'avais pas vu que j'avais la réponse sous les yeux !
Merci & Bonnes fetes !

Je suis désolée de vous redemander encore une fois de l'aide
mais apres avoir réussi a repondre au reste de l'exercice je bloque cette fois ci sur la question :
Démontrer que pour tout n de N, e^(n+1) > 2n+1

J'ai donc utilisé la récurrence et je pense avoir compris qu'il fallait réusir a modifier cette inégalité de sorte a obtenir quelque chose de semblable à [(x-n)/(x+n)] - e^(-x) afin de pouvoir se servir des questions précedentes seulement je n'y arrive pas. A chaque fois que je tente quelque chose ça ne marche pas et je tourne en rond ...

j'espere que vous pourrez de nouveau m'aider

Bonjour Elodie,

Tu peux étudier (les variations de) la fonction h(x) = e^(x+1) - (2x+1) et démontrer que pour tout x de IR, h(x) > 0.

SoSMath.

Grace a votre aide j'ai réussi a repondre a la question et j'ai aussi repondu a deux autres qui étaient:
"Démontrer que l'équation fn(x)=0 admet une unique solution" par contre je dois aussi démontrer que cette solution se trouve dans l'intervalle [n;n+1] et ça je ne sais pas comment m'y prendre...
On nous dit ensuite qu'on note cette solution Un et nous devons alors calculer deux limites, celle de Un pour n tend vers +∞, ce que j'ai réussi à faire mais également celle de Un/n pour n tend vers +∞ ou là je pense que c'est soit 0 soit +∞ mais je ne sais encore pas comment m'y prendre pour calculer cette limite ...

Bonjour Élodie,

Je crois que tu as déjà le sens de variation des fonctions fn et aussi que fn(n)<0.... Es-tu d'accord ?

As-tu regardé le signe de fn(n+1) ?

Bon courage !

J'ai compris et essayer, ça a marché, merci beaucoup !