SOS-MATH

Bonjour

Lorsqu'on a une fonction, souvent il est nécessaire d'étudier la continuité en un point. Mais la conclusion varie soit on écrit "f est prolongeable par continuité en ce point" et parfois on écrit "f est continue en ce point". Du coup je voulais savoir comment distinguer les cas. Quand on écrit "prolongeable par continuité" et quand on écrit "continue en un point" ?


Merci d'avance

Bonjour,
On suppose qu'on a une fonction \(f\) définie sur \([a\,;\,x_0[\cup]x_0\,;\,b]\)
On dit que \(f\) est prolongeable par continuité en \(x_0\) si \(f\) admet une limite finie \(\ell\) en \(x_0\).
Une fois que cette condition est réalisée, il est possible de prolonger \(f\) en \(x_0\) : cela revient à définir une nouvelle fonction \(\widetilde{f}\) de la manière suivante :
\(\widetilde{f}(x)=\begin{cases}f(x)&\mbox{si}\,x\in[a\,;\,x_0[\cup]x_0\,;\,b]\\\ell&\mbox{si}\,x=x_0\end{cases}\).
La fonction \(\widetilde{f}\) est alors définie et continue en \(x_0\).
Il y a donc création d'une nouvelle fonction.
Est-ce plus clair ?