SOS-MATH

Bonsoir

J'ai une question qui est hors programme.
Dans un exercice on a x^2y"+axy'+by=k
Ils proposent de faire le changement de variable t=ln|x| pour avoir des coefficients réels.
Voilà ce qu'ils écrivent dans la correction:
x=e^t
y(x)=z(t) je ne comprends pas cette égalité comment on l'obtient ?


Merci à vous

Bonjour Julien,

On pose t=ln|x| donc e^t = e^(ln|x|) soit e^t = |x| or exp est strictement positif, donc x=e^t.

Ensuite, y(x) = y(e^t) = z(t) = z(ln|x|) avec z = y o exp (z est la composée de y et exp).

Donc dans ton équation différentielle tu auras :
y(x) = z(ln|x|)
on dérive par rapport à x : y'(x) = 1/x z'(ln|x|) (dérivée d'une fonction composée)
puis \(y''(x) = \frac{-1}{x^2} z'(ln|x|) + \frac{1}{x} z''(ln|x|)\times \frac{1}{x}\)

tu remplaces y par z dans ton équation ... et tu dois trouver une équation différentielle du second degré à coefficient constant !

SoSMath.

Merci infiniment pr votre aide
Mais comment on aurait pu "deviner" qu'il fallait introduire une fonction z et poser y(x)=z(t) juste avec l'information t=ln|x| ?

Bonjour Julien,

Il faut décrire certaines choses en maths pour avoir une meilleur vision d'ensemble et ne pas faire d'erreurs (en dérivant des fonctions composées par exemple).

A bientôt !