SOS-MATH

Bonjour, je viens vers vous car j'ai un exercice de DM non réussi et je voudrais avoir de l'aide:

Démontrer que, pour tout nEN* (entier naturel non nul):

1^3 + 2^3 + 3^3 +...+ n^3 = (n²n+1)²)/4

Bonsoir Terry,

Fais une démonstration par récurrence de cette égalité : \(\sum_{0}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\)

Vérifie que la propriété est vraie pour \(n = 1\).

Ensuite suppose que pour un certain \(n\) tu as \(\sum_{0}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\) et démontre qu'en ajoutant \((n+1)^3\) tu as \(\sum_{0}^{n+1}k^3=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\).

Bon courage

n=1
donc 4/4=1
1=1

j'ai pas compris votre dernière indication.

C'est l'hérédité, regarde dans ton livre pour avoir des exemples et des explication sur l'hérédité d'une propriété.

Bon courage

oui, je vien de comprendre, il démontrer l'herediter avec n+1 donc:

((n+1²)(n+2)²)/4
donc:

(n²+2n+1)(n²+4n+4)/4
2n²+8n+4/4

est-ce cela?

on peut en conclure que pour tout nEN*>+oo

Bonsoir,
tu ne démontres rien en disant cela,
il faut supposer que l'égalité est vraie pour un certain entier \(n\geq 1\) fixé :
\(\sum_{k=0}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\)
Donc on s'intéresse à la somme mais avec un terme de plus :
\(\sum_{k=0}^{n+1}k^3=\sum_{k=0}^{n}k^3+(n+1)^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3=....\)
C'est cette dernière expression qu'il faut arranger pour prouver que la propriété est vraie au rang \(n+1\) et par là même montrer l'hérédité.
Il te reste un peu de travail...
Bon courage

donc arranger cela donne:
((2n²+8n+4)/4)+(1+n)^3?

Il vaut mieux factoriser (mettre \((n+1)^2\) en facteur) au lieu de développer tu verras plus facilement apparaître \((n+2)^2\) ; penses aux identités.

Bon courage pour les calculs

Pour factoriser avec (n+1)², je n'ai pas a entrer le (n+1)^3 dans la factorisation?
je dois juste factorise ((n+1)²*(n+1)²)/4?

Si, il faut d'abord réduire au même dénominateur (4) puis tout regrouper en une fraction et enfin factoriser.

((n+1)²*(n+1)²)/4 + ((n+1)^3 *4) /4= ((n+1)²*(n+1)²)+ ((n+1)^3 *4) /4

=(n+1)* ((n+1)+(n+1)+(n+1)²) *4 /4

comme ceci?

Tu es sur la bonne voie mais il y a une erreur au départ que je n'avais pas vu.

Tu as \(\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}+\frac{4(n+1)^3}{4}=\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^3}{4}\). A ce moment tu peux factoriser.

Attention, tu as mis \(\frac{(n+1)^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3\) il faut changer \((n+1)\) et le remplacer par \(n\).

Sinon tu es bien parti

Je ne comprend pas pourquoi dans le premier membre on a pas (n+1)^2 et (n+2)^2 ?

Bonsoir Terry,

sos-math(21) a écrit : il faut supposer que l'égalité est vraie pour un certain entier \(n\geq 1\) fixé :
\(\sum_{k=0}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\)
Donc on s'intéresse à la somme mais avec un terme de plus :
\(\sum_{k=0}^{n+1}k^3=\sum_{k=0}^{n}k^3+(n+1)^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3=....\)
Bon courage

Le \(\frac{n^2(n+1)^2}{4}\) vient donc de l'hypothèse de récurrence.

Est-ce cela ta question ?

Ensuite reprends les calculs :

SoS-Math(11) a écrit :
Tu as \(\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}+\frac{4(n+1)^3}{4}=\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^3}{4}\)

Pour trouver \(~ \frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}.\) en factorisant par \(~ (n+1)^2\)

Bon courage !

j'ai trouver:
1^3+2^3+3^3+...+p^3+(p+1)^3=((p+1)²/4)*(p+2²)
que dois je en conclure? Est-ce bon?