Récurrence double

[Margot]

Bonsoir, j'ai un DM à rendre. L'objectif de ce DM est de présenter 3 types de raisonnement par récurrence.

Le 1er est une démonstration avec une récurrence simple ( j'ai réussi) (tex)

Le 2ème est une démonstration avec 1 récurrence double: Montrer que pour tout n ∈N, (1+ 〖√2〗^n )+ (1- 〖√2〗^n )∈N
Initialisation: j'ai montré que Po est vraie; P1 est vraie.
Pour l'hérédité j'ai plus de mal... J'ai trouvé:
on suppose que la propriété est vraie à un rang n et à un rang n+1, n sup ou égal à O
soit: ((1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n \in \mathbb{N} et (1+\sqrt{2})^(n+1)+(1-\sqrt{2})^(n+1) \in \mathbb{N} ?

donc (1+\sqrt{2})^(n+2)+(1-\sqrt{2})^(n+2)= ((1+\sqrt{2})( (1+\sqrt{2})^(n+)1)+ (1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})^(n+1) par hyp de vécu

puis je dire directement que (1+\sqrt{2})^(n+2)+(1-\sqrt{2})^(n+2)= ((1+\sqrt{2})( (1+\sqrt{2})^(n+)1)+ (1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})^(n+1) \in \mathbb{N} ou alors comment puis je l'affirmer ?
Merci
Margot

[margot]

Bonjour je dois montrer par récurrence double cette propriété:
montrer que pour tout n appartient à N, (1+2√)n+(1−2√)n∈ℕ
Je n'arrive pas a l'hérédité... qqn pourrait-il m'aider svp ?
Merci d'avance
Margot

[sos-math(21)]

Bonjour,
Est-il précisé que la récurrence porte sur deux rangs ? Ou alors, il y a deux propriétés à montrer en même temps.
Si tu montrais le propriétés suivantes :
\(P_n\) : pour tout entier n, il existe un entier \(a_n\), tel que \((1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n=a_n\)
\(P'_n\) : pour tout entier n, il existe un entier \(b_n\), tel que \((1+\sqrt{2})^n-(1-\sqrt{2})^n=b_n\sqrt{2}\)
Essaie de montrer ces deux propriétés par récurrence, en même temps, ce serait aussi une récurrence double (sur les propriétés).
Bon courage