SOS-MATH

Bonsoir
Dans une correction il y a écrit:
On a 1/3(a+b+c)=0, ce qui signifie que le centre de gravité du triangle ABC est O (l'origine).
Ainsi le point O est à la fois centre du cercle circonscrit au triangle et point d'intersection des médianes.
**Par conséquent les médiatrices des côtes sont aussi les médianes et le triangle est isocèle par rapport à chacun de ses sommets. Le triangle est donc équilatéral.

À partir de l'asterix, je ne comprends plus les conséquences déduites. Je ne vois pas comment on peut arriver à ce résultat.

Merci de m'expliquer

Bonjour Théo,

Tu sais que le point O est à la fois centre du cercle circonscrit au triangle et centre de gravité du triangle.

En se plaçant au sommet A du triangle, tu en déduis que la droite (AO) est la médiane issue de A et donc que cette droite (AO) coupe le segment [BC] en son milieu que je vais noter A'.
Du coup, la médiatrice du segment [BC] est la droite (OA') puisque O est le centre du cercle circonscrit au triangle et que A' est le milieu de [BC]. Mais les points A, A' et O sont alignés puisqu'ils sont tous les trois sur la médiane issue de A, donc la droite (OA') est aussi la droite (AO) : cela induit que la médiatrice du segment [BC ] est la droite (AO).
Finalement la droite (AO) est à la fois médiane et médiatrice.

Un raisonnement identique à partir des points B et C prouve que les médiatrices des côtés sont aussi les médianes.

Bonne journée

SOS-math