SOS-MATH

Bonjour,
J'ai un exercice sur les nombres de Fermat; dans une question il fallait montrer que n+1<ou=à 2^n ,que j'ai réussi à faire puis en déduire que 2^n+1 divise 2^(2^n) c'est là que je ne vois pas ce qu'il faut faire et comment y arriver.

Plus loin dans l'exercice, on trouve que Fn( qui est (2^(2^n))+1) divise 2^(2^(2^n))-1 et on doit en déduire que Fn divise (2^Fn)-2 ,
je pense qu'en trouvant que 2^(2^(2^n))-1 divise (2^Fn)-2 ça fonctionnerais mais je ne sais pas comment arriver à cette conclusion.

Dans l'exercice suivant, il faut démontrer que 2^(2^n))est congrue à 6 modulo 10 en sachant que 2^4 est congrue à 6 modulo 10;je ne sais pas vraiment comment utiliser ce qu'on sait pour trouver ce que l'on cherche sans trop modifier le 6.

on sait ensuite que Fn est congrue à 7 modulo 10; si n est congrue à 3 modulo 4 alors Fn est congrue à 57 modolu 100.
je ne voit pas comment transformer le modulo 4 pour le trvailler en modulo 100 pour evidemment arriver à la solution.


louise

Bonjour louise,

1°) T u as montré que n+1 <= 2^n donc 2^n-(n+1)= p est un entier positif ou nul.

On peut alors écrire que : \(2^{2^{n}}=2^{n+1}\times 2^{(2^{n}-(n+1))}=2^{n+1}\times 2^{p}\)
or 2^p est un entier naturel, donc \(2^{2^{n}}\) est divisible par \(2^{n+1}\)

2°)Pour la suite tu calcules 2^Fn -2, en remplaçant Fn par sa valeur et tu fais attention en manipulant les exposants.

Tu dois trouver : 2^Fn -2 = 2( 2^(2^(2^n)))-1) et conclure

je te laisse faire tout ça. Pour la suite c'est encore des manipulations sur les exposants qui permettent de répondre.
bon courage
sosmaths

Merci pour les petites aides, elles m'ont tout de même bien servi !

Louise

pas de quoi, à bientôt

sosmaths