Dérivation Exo

[Marion]

Bonjour, j'ai un exercice en Maths a faire pour demain et me voila bloquer:
(Exercice n°44page 124 Livre Transmaths Programme 2012)

Enoncé:
On a tracé ci-dessous la courbe C représentative de la fonction f définie sur I=[1;+(infini)[ par f(x)=x²*racine carrée(x+1)
1/ Dresser le tableau de variation de la fonction f
2/ Quels sont les coordonées du point A de C correspondant au maximun de f sur l'intervalle [-1;0]?

Pour la première question j'ai commencer par poser
u=x² u'= 2x
v=racine carrée (x+1) v'= 1/2racine carrée(x+1)

Ensuite f'(x)= 2xracine carrée (x+1) + (x²)/2racine carré(x+1)
Et je suis bloqué je pense qu'il faut tout mettre sur le même dénominateur j'ai donc tenté ceci:
[(2xracine carrée (x+1)) * (2racine carrée (x+1))+ x² ] / (2 racine carré(x+1))

Cordialement Marion

[SoS-Math(11)]

Bonjour Marion,


Tu es bien partie, tu as bien : \(f^,(x)=\frac{(2x\sqrt{x+1})(2\sqrt{x+1})+x^2}{2\sqrt{x+1}}=\frac{4x(x+1)+x^2}{2\sqrt{x+1}}=...\)
Continue en développant le numérateur puis en le factorisant pour pouvoir obtenir un tableau de signe.

Tu vas obtenir le tableau de variation de f.

Bonne continuation

[Marion]

Merci, en revanche je n'est pas compris comment passer vous à (4x(x+1)+x²)/2 racine (x+1)

[SoS-Math(11)]

Je fais : \((2x\sqrt{x+1})(2\sqrt{x+1})+x^2 = 2x\times 2 \times \sqrt{x+1} \times \sqrt{x+1}+x^2 = 4x\times (\sqrt{x+1})^2+x^2=4x(x+1)+x^2\) en associant les facteurs de façon à supprimer la racine.

Au fait, je pense que ta fonction est définie sur [\({-1} ; + \infty\)[ et pas sur [\({1} ; + \infty\)[

Bon courage pour le suite

[Marion]

Oui en effet la fonction est définie sur -1;+(infini)

Merci, donc je trouve mon résultat tel que : (5x²+4x)/2 racine de (x+1)
Donc il faut que je calcule le delta ainsi que les solution pour le polynome au dénominateur ainsi ce la me permettra de répondre a la question 2?
Et pour le dénominateur dans mon tableau je dois faire une seul ligne ou deux avec une premiere 2 et une seconde racine de (x+1)

Merci pour m'avoir aider jusqu'ici.

[SoS-Math(11)]

Tu peux faire comme tu me l'a énoncé, ou tu peux mettre \(x\) en facteur au dénominateur ce qui te donne \(x (5x+4)\) et tout de suite les deux racines \(0\) et \(\frac{-4}{5}\).

Dans le tableau, comme \(\sqrt{x+1}\) est toujours positif tu peux écrire que le signe de \(f^,(x)\) est celui du dénominateur et ne pas mettre la ligne du dénominateur, ce qui fait gagner un peu de temps.

Bonne fin d'exercice