SOS-MATH

Bonjour,

j'ai le problème de probabilité suivant :

Une urne contient 4 boules Rouges, 3 boules Jaunes et 2 boules Bleues.
On tire simultanément 2 boules.
Quelle est la probabilité qu'elles soient de la même couleur ?

Selon le raisonnement que j'applique, je ne trouve pas le même résultat, donc au moins l'un des deux raisonnements est faux.
J'ai fait une simulation, donc je sais que le raisonnement faux est celui qui passe par les coefficients binomiaux, mais je ne comprends pas pourquoi.

1er raisonnement : avec un arbre
J'ai 4/9 de tirer R puis 3/8 de retirer R.
J'ai 3/9 de tirer J puis 2/8 de retirer J.
J'ai 2/9 de tirer B puis 1/8 de retirer B.
La somme des produits donne :
(4/9)*(3/8)+(3/9)*(2/8)+(2/9)*(1/8)=20/72 soit 5/18 (confirmé par une simulation sur tableur)

2ème raisonnement : avec les coefficients binomiaux
je note (4 9) le coefficient 4 parmi 9.

Le nombre de façons de tirer mes boules est
(1 4)*(1 3)+(1 3)*(1 2)+(1 2)*(1 1)
Le nombre total de façons de tirer 2 boules parmi 9 est
(2 9)
Le quotient donne 20/36, ce qui est donc faux.

Pouvez-vous m'éclairer ?

Merci.

Bonsoir,
ton erreur vient de tes calculs au numérateur : quand tu écris \(\left(\begin{array}{c}4\\1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right)\), c'est comme si tu faisais un tirage avec des boules distinctes (ou avec un ordre), ce qui au niveau de l'univers se calcule avec un arrangement : le total est donc \(A_9^2=72\) et tu retombes bien sur ta bonne probabilité.
Sinon, tu peux considérer des tirages simultanés : tu as bien dans ce cas \(\left(\begin{array}{c}9\\2\end{array}\right)\) tirages possibles, mais alors, on ne tient pas compte de l'ordre donc c'est comme si on tirait deux boules par poignée donc pour les bleues par exemple, c'est 2 boules parmi 4 : \(\left(\begin{array}{c}4\\2\end{array}\right)=6\).
Refais le calcul avec ce principe de 2 boules prises parmi ....
Bon courage