SOS-MATH

Bonjour, dans un exercice de spé math, j'ai une matrice J(2;2) dont tous les coeficients sont egals a 1. La question est: soit un entier naturel n au moins égal a 1. Conjecturer puis démontrer une expression de J^n en fonction de n de de la matrice J. Je me doute que pour la demonstration il s'agit d'une recurence. En tapant a la calculette, il me semble que les coeficient des matrices obtenues sont multiple de 4. Mais je n'ai pas bien compris la question et je ne sais pas quoi conjecturer! Pouvez vous m'aider svp?

Bonjour,
c'est un peu plus précis :
\(A^1\)->> que des 1
\(A^2\)->>> que des 2
\(A^3\)->>> que des 4
\(A^4\)->>> que des 8
\(A^5\)->>> que des 16
J'ai plutôt l'impression que ce sont des puissances de 2....

Merci, je conjecture donc que J^n=2^(n-1)*J. ma recurence vise alors a montrer que J^n+1=2^n*J si j'ai bien compris
mon initialisation est vrai je pense mais je reste bloquée sur l'hérédité:
J^n=2^(n-1)*J
J^n *J= 2^(n-1)*J *J
J^n+1= 2^(n-1)*J²
je pense qu'il y a erreur pouriez vous m'aider svp?

Bonjour,
C'est correct,
Pour la fin tu n'es pas loin, il suffit de repasser à l'écriture matricielle :
\(J^n=2^{n-1}\times J^2=2^{n-1}\times \left(\begin{array}{cc}2&2\\\2&2\end{array}\right)\) et tu peux "extraire" le 2 de \(J^2\).
Bonne continuation

Ah merci, mais je ne comprend pas bien, comment cela extraire le 2 de J²? je ne comprend pas trop ce que je dois obtenir

Bonjour Marie,

Tu as donc : \(~J^{n+1}=2^{n-1}\times J^2= ...\)

Mais comment écrire \(~J^2\) en fonction de J ?

Tu dois aboutir à ceci :

MArie TS a écrit :Merci, je conjecture donc que J^n=2^(n-1)*J. ma recurence vise alors a montrer que J^n+1=2^n*J si j'ai bien compris

Tu y es presque !

A bientôt !

Ah d'accord je crois que j'ai compris:
J^(n+1)=2^(n-1)*J²
J^(n+1)=2^(n-1)*2J
J^(n+1)=2*(2^n *J)
c'est bien cela? mais dans ce cas comment se debarasser du 2?

C'est cela ! (En corrigeant une erreur :)

Comment passes-tu de

\(~J^{n+1}=2^{n-1}\times 2J\)

à

\(~J^{n+1}=2\times (2^{n}\times J)\) ?

Que vaut \(2^{n-1}\times 2\) ?

Tu y es presque, bon travail !

Ah j'ai compris!! merci beaucoup de votre aide!