SOS-MATH

Bonsoir
Je suis en terminale S et je bloque sur qq questions d'un exo, voici le sujet et mes réponses :

ABC triangle rectangle et isocèle en A et AB=a
le point I vérifie : \(\overrightarrow{AI}\) = 1/3 \(\overrightarrow{AB}\) et on appelle K milieu de [IC]
1) a) prouver que dans ACK la médiane issue de K est aussi hauteur : j'ai calculé le produit scalaire des vecteurs KH et HC =0
b) Calculer AK : AK= ( \(\sqrt{10}\) /6 )a
2) a) Montrer que \(\overrightarrow{AK}\) = 1/2 (\(\overrightarrow{AC}\) + \(\overrightarrow{AI}\) ) : je suis partie de \(\overrightarrow{AK}\) = \(\overrightarrow{AI}\) + \(\overrightarrow{IK}\) J'y suis arrivée
b) en déduire que \(\overrightarrow{AK}\).\(\overrightarrow{AB}\) = 1/6 a² : mais je trouve 2/3 a² pourtant j'ai utilisé le résultat de la question précédente
c) en déduire BÂK : =60°
3) le point J vérifie : \(\overrightarrow{AJ}\) = 1/3 \(\overrightarrow{AC}\)
Montrer que (BJ) et (AK) sont perpendiculaires : j'ai calculer BJ= ( \(\sqrt{10}\) /6 )a puis le produit scalaire des vecteurs AK et BJ mais il n'est pas nul

je n'arrive pas à aboutir les question 2b) et 3)
merci d'avance
hélène

Bonjour Hélène,

Tes réponses semblent justes.
Cependant, comment as-tu fait pour répondre à la question 1.a) ? (Je ne suis pas sûr que la produit scalaire soit la meilleure façon de faire ...)

Pour la question 2b), la réponse est (1/6)*a². Pour répondre, tu peux te placer dans le repère orthormé (A, 1/a vect(AB), 1/a vect(AC)), puis calculer les coordonnées des vecteurs et le produit scalaire.

A la question 2c), ang(AKB) n'est pas égale à 60°. mais à environ 57,5°.

Pour la question 3), là encore tu peux utiliser le repère de la question 2b).

Bon courage,
SoSMath.

Bonjour
A la 1)a) pour prouver que la médiane (KH) est aussi hauteur :

j'ai calculer KH à partir de l'égalité vectorielle IC=2KC <=> IC= 2(KH+HC) .... <=> norme KH= (1/6) a

Ensuite j'ai fait le produit scalaire de
KH.HC= 1/2 [(KH+HC)²-(KH)²-(HC)²] = 1/2 [(KC)²-(KH)²-(HC)²] avec KC = (\(\sqrt{AI²+AC²}\))/2 car ACI rectangle en A donc on trouve le produit scalaire nul
Est ce juste ?

Pour la 2)c) l'angle BÂk est normalement environ = 72°

MERCI de votre aide j'ai réussi à faire les autres questions
Hélène

Bonsoir Hélène,

Ta méthode est bien compliquée... Pour savoir si elle est juste, il faut détailler ce qui se trouve dans les "..." de :

IC= 2(KH+HC) .... <=> norme KH= (1/6) a

Sinon, il y a bien plus simple avec des propriétés des classes de collège... Que sais-tu de la hauteur et de la médiane issue du sommet principal d'un triangle isocèle ?

A bientôt

SOS Math

ds un triangle isocèle médiane et hauteur sont confondues. En effet on pourrait utiliser cette méthode mais il faudrait prouver que AKC est isocèle en K dc AK=KC or à la qt°suivante 1b) on ns demande de calculer AK.
je pensais dc que se serait plus judicieux de ne pas utiliser cette méthode.

merci de votre aide

Bonsoir Hélène,

Tu fais preuve d'esprit critique et c'est très bien. On peut, cependant, prouver que le triangle AKC est isocèle sans utiliser les longueurs des côtés.
Que sais-tu du triangle rectangle et de la médiane issue de l'angle droit ?

A bientôt
SOS Math