Les limites de suite

[Lola]

Bonjour,

J’aurais besoin de votre aide pour comprendre un exercice (fichier joint). J'ai déjà commencé à faire quelques recherches mais je ne sais pas si c'est exact.

Concernant l’exercice 2, je n’arrive pas à démontrer totalement un+1-un.

Je sais que un+1-un sera égale

(1/n)+(1/n+1)+(1/n+1)+(1/n+2)+...+(1/2n)+(1/2(n+1)) –> (1/2n+2)

on va donc avoir un+1-un= n*(1+1+1+1+.....)/n*(2n+2)*(2n+1) on a (2n+1) puisqu’on compte le tout premier terme

Voila mais je ne comprend pas comment on démontre le haut.


Pour les variations, je suis partie de la question 2 et en faisant la dérivée j’ai trouver 24x^3+42x^2+24x+4/4x^3+6x^2+2x

J’en ai donc déduit avec le tableau de variation que la suite (un) était croissante.


Pour la 3, pour prouver qu’elle était convergente, sachant qu’elle est croissante. Il faut prouvé qu’elle est minorée. On sait que n>0. On peut donc reconstruire la fonction.

On fait –3n<0*-3 puisqu’on multiplie par un nombre négatif.

-3n-2<-2

-3n-2/n*(2n+2)*(2n+1) < –2 / n*(2n+2)*(2n+1).

La suite étant minorée et croissante. La suite converge.

Merci pour votre aide

[sos-math(21)]

Bonjour,
L'image que tu nous as envoyée ne correspond pas du tout à l'exercice dont tu parles.
Il faut que tu nous renvoies le bon énoncé pour que l'on sache vraiment de quoi tu parles.
Merci et à bientôt

[Lola]

dm limites de suites 3.jpg (22.78 Kio) Vu 1407 fois

Ah oui pardon, je me suis trompé d'image. Je vous envoie le bon.

[sos-math(21)]

C'est mieux, merci.
Il faut traduire correctement les choses :
tu as \(u_n=\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\ldots+\frac{1}{2n}\)
Et au rang \(n+1\) ?
écris la même chose en remplaçant tous les \(n\) par\(n+1\) : cela te donne une somme qui commence à ... et qui se termine à ....
Une fois cela fait, regarde les termes qui sont en commun dans les deux sommes et qui vont s'éliminer par soustraction. Il te restera alors quelques fractions qu'il faudra mettre au même dénominateur.
Bon calcul

[Lola]

Un+1 contiendrai en mois 1/n et aurais en plus 1/2n+2 par rapport à (un)
Donc un+1-un= 1/n + 1/2n+2
= 3n+2/n*(2n+2)
Donc je ne comprends pas.

[sos-math(21)]

Non, il y a trois termes. Par ailleurs, si tu fais \(u_{n+1}-u_n\), le \(\frac{1}{n}\) est en soustraction puisqu'il vient de \(u_n\).
Pour t'aider n'oublie pas que la somme au rang \(n+1\) va jusqu'à \(2(n+1)=2n+2\) : combien de termes après le rang \(2n\) ?

[Lola]

Je comprends toujours pas pour moi il n'y a qu'un terme en plus et non deux. On a simplement 1/2(n+1) --> 1/2n+2.
Et donc 1/2n+2 - 1/n
Mais j'ai vu sur un site que sa pourrait être:
un+1-un= 1/n+1 + 1/n+2 - 1/n mais je ne comprends pas pourquoi?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Lola,

Si k varie de 1 à 2n+2, alors k prend les valeurs 1, 2, 3, ... , 2n, 2n+1 et 2n+2 (on ajoute 1 pour passer au nombre suivant).

\(u_n=\sum_{k=1}^{2n}\ \frac{1}{k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n}\)

\(u_{n+1}=\sum_{k=1}^{2(n+1)}\ \frac{1}{k}=\sum_{k=1}^{2n+2}\ \frac{1}{k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}\)

Donc \(u_{n+1}=u_n+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}\).

SoSMath.