SOS-MATH

bonjour a tous,

Alors pour demain j'ai deux exercices a faire et j'aimerais avoir votre aide :

Exercice 1 : Pour chacune des suites ci-dessous :
-calculer les premiers termes de la suite
-conjecturer une expression de un en fonction de n
-démontrer cette conjecture par récurrence.
a)un est la suite définie par u0=1 et pour tout entier naturel n, un+1=4un-3n-2
b)(un)est la suite définie par u0=4, et pour tout entier naturel n, un+1=racine carre de 1+un2

Exercice 2 : (un)est la suite définie par u0=3, u1=15 et pour tout entier naturel n, un+2=3un+1+10un

a)demontrer que pour tout entier naturel n, un+1=5un
b)donner la nature de la suite (un)puis l'expression de un en fonction de n.

Ou j'en suis ? j'arrive a peu pres a calculer les premiers termes de la suite a de l'exercice 1 mais pour le reste je ne comprends pas vraiment pas, c'est donc pour sa que je suis sur ce forum, j'espere pouvoir bénéficier de votre aide

Merci beaucoup a tout ceux qui me proposeront leur aide

Bonjour Maxime,

Si tu as calculé les quatre premiers termes de la suite, tu dois t'apercevoir qu'il y a une relation toute simple entre \(u_n\) et \(n\).

C'est cette relation que tu dois démontrer par récurrence.

Procède de même avec l'autre suite, pense que \(4=\sqrt{16 + 0}\).

Bonne continuation

je vais déjà vérifier mes réponses :

je trouve : u0=1
u1=2
u2=3
u3=4

C'est juste ?

Oui, maintenant regarde le lien entre l'indice du terme et le nombre que tu as trouvé. Démontre qu'il en est toujours ainsi.

je dois démontrer que la suite est croissante et de raison 1 ?

Non, ce que tu dis est vrai mais la question est de trouver une expression qui te donne u_n en fonction de n, cette expression est évidente d'après tes calculs :
\(u_0 =1\) ; \(u_1 = 2\) ; \(u_3=4\) en observant ces valeurs peux-tu compléter \(u_{50} = ???\).
Donne alors l'expression cherchée.

un=n+1 ?

Oui tout à fait, il te reste à le démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), tu as \(u_n = n+1\) :
Initialisation : ...
Hérédité ; ...

Bon courage, ces calculs et raisonnement sont assez simples.

alors, je vais procéder par étape :

Initialisation: pour n=1, on a : u1=4x1-2=2 et u0=1 donc un=un+1
La propriété est donc vraie au rang n+1

C'est juste ?

Non, tu initialise à 0 : As-tu \(u_0 = 0 + 1\) ?

Si oui c'est initialisé.

Ensuite l'hérédité commence par une hypothèse de récurrence.

pour l'initialisation je mets :

pour n=0 on a : u0=0+1. donc la propriété est vraie au rang n=0

C'est juste ? ensuite pour l'hypothèse de récurrence je mets : on suppose que au rang k>0 on a un=un+1 ?

Oui, mais c'est \(u_k= k + 1\) pour un indice \(k\)

Bonsoir,
C'est cela et tu pars ensuite de \(u_{n+1}=4u_n-3n-2\) et tu utilises l'hypothèse de récurrence.
Bon courage

Heredite : un+1=:-4un-3n-2 or uk=k+1

Bonsoir Maxime,

Tu cherches à démontrer que \(u_{k+1}=(k+1)+1\).

Pour cela tu parts de \(u_{k+1}=4u_{k}-3k-2\) et tu utilises ton hypothèse de récurrence à savoir que \(u_{k}=k+1\)

Bon courage.