SOS-MATH

Bonjour, je rencontre des difficultés dans un DM et j'aimerais avoir de l'aide. Voici l'exercice : On admet l’encadrement (E) : « pour tout réel x appartient à [0 ;pi], x-(x^3/6) inférieur ou égale à sinx inférieur ou égale à x ». On pose pour tout n appartenant à N*, Un=sin(1/n^2) + sin(2/n^2)+…+sin(n/n^2) et Vn = 1/n^2 + 2/n^2 + … + n/n^2 . L’objectif est d’étudier la convergence de la suite (Un). 1) Déduire de l’encadrement (E) que, pour tout n appartenant à N* , Un inférieur ou égale à Vn 2) A) Justifier que pour tout n appartenant à N*, 1^3+2^3+…+n^3 inférieur ou egale à n^3 B) En déduire, à l’aide de l’encadrement (E), que pour tout n apparenant à N* , Vn-(1/6n^2) inférieur ou egale à Un. Le problème que je rencontre est dans la question 2)a). Je vois bien que c'est vrai mais je n'arrive pas à le démontrer même avec la récurrence sa ne fonctionne pas! Je vous remercie d'avance!

Bonjour :

rien d'étonnant à cela, la propriété que tu essayes de démontrer est fausse.
\(1^3+2^3=1+8=9\). tu vas avoir du mal à justifier que \(9 \le 8\).

Il y certainement une erreur dans ton énoncé.

Bonne continuation.

ah oui d'accord!! Merci

je suis vraiment dsl je me suis trompée en tapant l'énnnoncé!

2)Justifier que pour tout n appartenant à N*, 1^3+2^3+…+n^3 inférieur ou egale à n^4

Bonjour,

As-tu réussi cette question ?

A bientôt !

non je ne trouve toujours pas de réponse..

Bonjour Hidalgo,

Pour la question 2a, la récurrence marche bien ...
Avec ton hypothèse de récurrence tu as au rang n : 1^3+2^3+…+n^3 =< n^4
Tu ajoutes dans chaque membre (n+1)^3 : 1^3+2^3+…+n^3 + (n+1)^3 =< n^4 + (n+1)^3
Il ne te reste plus qu'à montrer que n^4 + (n+1)^3 < (n+1)^4 ...
Rappel : Pour comparer deux nombres, on étudie souvent le signe de la différence.

SoSMath.

Je reviens vers vous, car je n'arrive pas non plus avec le 2)b)..
Pouriez vous m’éclairer?

Applique le côté gauche de l'inégalité (E) à \(sin(\frac{1}{n^2})\) puis à \(sin(\frac{2}{n^2})\), etc jusqu'à \(sin(\frac{n}{n^2})\). Ensuite additionne entre elles ces n inégalités obtenues puis utilise ce que tu as démontré dans les questions précédentes pour arriver au résultat souhaité.

Bon courage

SOS-math