SOS-MATH

Bonsoir, je voudrais de l'aide pour un exercice sur la fonction exponentielle. Je tiens à préciser que mon exercice est assez long pour un exercice d'entrainement. C'est un exercice de terminale S.

Soit f la fonction definie sur R par f(x)= e^x / (e^x + 1)

Questions :
1. Prouver que f(x) = 1 / (1 + e^-x). Question, que j'ai réussi.
2. Calculer les limites de f en plus et moins l'infini. Question que j'ai aussi réussi.
3. Etudier les variations de f et tracer C la courbe représentative de f(x). Question que je n'ai pas su faire.
4. Prouver que i (0 ; 1/2 ) est centre de symétrie de C . Question que je n'ai pas su faire.
5. Démontrer une équation de la tangente T à C en i . Question que je n'ai pas su faire.
6. Soit y(x) = (1/4) x + (1/2) - f(x)
a. Prouver qye y'(x) = (e^x - 1)² / 4 (e^x +1)² . Question que je n'ai pas su faire, je n'arrive aps au même résultats avec les formules de dérivées.
b. Donner le sens de variation de y . Question que je n'ai pas su faire.
c. Calculer y(0) et en deduire le sens de y(0). Quelle interprétation graphique du signe de y peut on onner à l'aide de C et T. Question que je n'ai aps su faire.

Votre aide me serait très précieuse.

Nicole.

Bonjour Nicole,

3) Pour les variations de f, tu dois calculer la fonction dérivée. Fais attention que f(x) est un quotient, et qu'il faut donc appliquer la formule pour la dérivée d'un quotient.
j'attends ta réponse.
4) Tu as dans ton cours une conbdition pour que le point I(a,b) soit centre de symétrie de Cf. Ici l'ensemble de définition est IR, donc il suffit de montrer que f(a-x)+f(a+x)=2b pour tout x dans IR.
tu fais a=0 et b=1/2, et tu as donc l'égalité que tu dois montrer. Tu calcules le premier membre et après quelques lignes de calculs tu dois aboutir au deuxième membre de cette égalité.

j'attends ta réponse.
5) Equation de tangente aupoint A d'abscisse a : y=f '(a)(x-a) +f(a)
applique cette formule à ta fonction.

sosmaths

Je vais essayer cet après-midi, je vous tiendrai au courant dans la soirée. Merci.

Nicole.

Désolé, j'ai eu des problèmes de connexions, je n'ai donc pas pu me connecter avant.

Pour étudier les variation de f j'ai calculé les dérivés. J'en ai calculer 2 pour vérifier mais elles sont differentes, je ne vois pas mon erreur.
Je suis parti de f(x) = 1 / (1 + e^-x). Jai utilisé la formule (1/v)' = -v'/v². Avec v = 1+e^-x et v' = - e^-x
Ce qui me donne f'(x) = - (-e^-x) / (1+ e^-x)² = (e^-x) / (1+ e^-x)².
Pui j'ai voulu vérifier avec f(x) = e^x / e^x +1. Cette fois ci j'ai utilisé (u/v)' = u'v-v'u /v². Avec u = e^x ; u' = e^x ; v = e^x ; v' = e^x.
Ce qui me donne f'(x) = ( e^x . e^x - e^x . e^x ) / (e^x +1)² .
Je ne treouve pas mes erreurs, du coup je n'ai pas réussi a faire la question 5)

De ce qui est pour la question 4) J'ai redigé ceci d'après votre formule : f(0-x) + f(0+x) = 2 . (1/2)
Ce qui donne f(-x)+ f(x) = 1
Je remplace : ( 1/1+e^x) + ( 1/e^-x) = 1
Et je ne sais pas comment aboutir.

Merci de votre aide.

Nicole.

Désolé, j'ai eu des problèmes de connexions, je n'ai donc pas pu me connecter avant.

Pour étudier les variation de f j'ai calculé les dérivés. J'en ai calculer 2 pour vérifier mais elles sont differentes, je ne vois pas mon erreur.
Je suis parti de f(x) = 1 / (1 + e^-x). Jai utilisé la formule (1/v)' = -v'/v². Avec v = 1+e^-x et v' = - e^-x
Ce qui me donne f'(x) = - (-e^-x) / (1+ e^-x)² = (e^-x) / (1+ e^-x)².
Pui j'ai voulu vérifier avec f(x) = e^x / e^x +1. Cette fois ci j'ai utilisé (u/v)' = u'v-v'u /v². Avec u = e^x ; u' = e^x ; v = e^x ; v' = e^x.
Ce qui me donne f'(x) = ( e^x . e^x - e^x . e^x ) / (e^x +1)² .
Je ne treouve pas mes erreurs, du coup je n'ai pas réussi a faire la question 5)

De ce qui est pour la question 4) J'ai redigé ceci d'après votre formule : f(0-x) + f(0+x) = 2 . (1/2)
Ce qui donne f(-x)+ f(x) = 1
Je remplace : ( 1/1+e^x) + ( 1/e^-x) = 1
Et je ne sais pas comment aboutir.

Merci de votre aide.

Nicole.

Bonsoir Nicole,

Pui j'ai voulu vérifier avec f(x) = e^x / e^x +1. Cette fois ci j'ai utilisé (u/v)' = u'v-v'u /v². Avec u = e^x ; u' = e^x ; v = e^x ; v' = e^x.

Ton erreur vient de la définition de v, ici \(v=e^x+1\)
Je te laisse finir tes calculs (le premier calcul de dérivée est juste).

A bientôt

SOS Math

Merci beaucoup. Cependant quand je fais le tableau de variation je me demande (avec une fonction exponenetielle)
s'il existe des valeurs x tel que lorsque (fx)=0, car autrement j'ai alors une fonction f croissante c'est cela ?

En ce qui concerne la question 4) j'ai réussi a trouver que c'est egal a 1. Voici mon calcul : avec a = 0 et b = 1/2
D'apres la formule et en remplacant, j'ai ceci : f(-x) + f(x) = 1
J'ai dabord calculer f(-x) + f(x) a part qui me donne 1, ce qui correspond au resultat recherché.

Pour ce qui est de la question 5 J'ai trouver une tangente égale à y= 0,25 x + 0,5 (j'espere qu'elle est juste).

Je vais essayer de faire la question 6) et je vous donnerai mes resultats en esperant que j'y arrive.

Merci beaucoup.

Nicole.

Bonsoir Nicole,

Oui ta fonction est strictement croissante sur R (attention à ne pas oublier l'inervalle ... sinon cela n'a pas de sens).
D'après ton calcul de limites, et ton tableau de variations, tu peux en déduire que pour tout x de R, 0 < f(x) < 1. Donc ici il n'y a pas de x tel que f(x) = 0.

Pour la question 4), cela semble juste.

L'équation de ta tangente est juste.

Bon courage,
SoSMath.

Merci beaucoup. pour ce qui est de la question 6 jai réussi a l'aide d'un ami.

Merci de votre aide, à Bientot .

A bientôt sur sos math