SOS-MATH

Bonjour

Dans mon cours de spécialité, sur les marches aléatoires, il y a écrit:
"Pour tout naturel n, on a P(n+1)=P(n)T et donc P(n)=P(0)T^n (démontré par récurrence).
On appelle répartition stable de probabilité une matrice ligne P, dont tous les coefficients sont positifs et de somme 1, vérifiant P=PT."
Est-ce que cette relation (P=PT) a un lien avec le théorème du point fixe ? Et avec les limites ? car je ne comprends pas très bien le sens de cette définition.



Il y a aussi écrit: "si la matrice de transition T admet une puissance n'ayant aucun coefficient nul, alors il existe une répartition stable de probabilité P et une seule, telle que PT=P"
Je ne comprends pas la condition ? pourquoi est-elle nécessaire ?


Merci à vous

Bonjour,
On peut en effet considérer une état stable comme un point fixe, car si l'on a un état stable, alors toutes les itérations (les puissances de matrices) vont être égale à la matrice initiale.
C'est une sorte d'équilibre du système.
Cette condition sur la matrice de transition n'est pas évidente à expliquer car elle fait appel à la démonstration du théorème sous-jacent, laquelle est loin d'être simple pour un niveau terminale.
Disons que les mathématiciens se sont posés la question de l'existence d'un état stable et ont cherché des conditions sur la matrice de transition et de ses itérées permettant de garantir l'existence d'un état stable. La condition évoquée dans ce théorème permet d'assurer l'existence d'un état stable, mais ne l'explicite pas.
Il y a plusieurs propriétés que l'on est obligé d'admettre en terminale et qu'il faut seulement "utiliser".
Bonne continuation.