Intégration

[Jacques]

Bonsoir j'ai un petit probleme avec cette exercice dont l'énoncé est le suivant :

Soit (In) la suite définie par io= integrale f(x) dx allant de 0 à 1 et pour tout entier naturel n non nul : in = integrale de 0 à 1 de x^n f(x)dx . la question que je ne comprend pas est la suivante :Montrer que , pour tout entier naturel non nul, in <<(pi)/(4(n+1)) .Pourrais-je avoir toute la démonstration détaillé s'il vous plait .cette exercice est tiré du bac d'amérique du nord ,juin 2012 .cordialement .

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Jacques,

Tu as le corrigé sur ce site : http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/BacSAm ... ai2012.pdf.

Bonne continuation

[Jacques]

Mais le probléme c'est que je ne l'ai pas comprise (la correction ) c'est pour cela que je vous sollicite .Merci d'avance .

[SoS-Math(11)]

Bonjour Jacques,

Le théorème de l'intégration par partie n'est plus de ton programme, il est basé sur la propriété suivante : \((uv)^,=u^,v+uv^,\) donc en intégrant tu as \(\int_{0}^{1}(uv)^,=\int_0^1u^,v+\int_0^1uv^'\) donc \(\int_0^1u^,v=\int_{0}^{1}(uv)^,-\int_0^1uv^'=[uv]_0^1-\int_0^1uv^'\).
Tu appliques ceci à \(u(x)=x\) et \(v(x)=f(x)\) ce qui te donne \(I_0\).

Ensuite tu sais que \(0\leq f(x) \leq \frac{\pi}{4}\) donc que \(0\leq x^nf(x) \leq \frac{\pi}{4} x^n\) pour \(0\leq x\leq 1\).

Tu en déduis que \(0\leq \int_0^1x^nf(x)dx \leq \int_0^1 \frac{\pi}{4}x^ndx\) comme \(\int_0^1 \frac{\pi}{4}x^ndx= \frac{\pi}{4}\int_0^1x^ndx\) et que \(\frac{\pi}{4}\int_0^1x^ndx= \frac{\pi}{4}\times {[\frac{x^{n+1}}{n+1}]_0^1= \frac{\pi}{4}\times \frac{1}{n+1}\).

La conclusion est alors évidente.

J'espère t'avoir apporté un petit plus par rapport à la correction donnée.

[Jacques]

Merci beaucoup pour votre aide , mais je n'ai toujours pas compris la dernière étape . ou est passée le 1^n+1 car nous devons faire F(1)-F(0) et je ne comprend pas comment on trouve la derniere égalité .

[SoS-Math(11)]

Le \(1^{n+1}\) est remplacé par sa valeur à savoir \(1\) d'où le résultat.

A bientôt sur le forum

[Jacques]

Merci pour votre aide

[Damien]

Salut , j'ai le même problème que Jacques . 1 ^n+1 est-il remplacé par x^n qui est sa valeur d'origine ???

[SoS-Math(11)]

Mais non, \(1^{n+1}=1\), c'est tout, cela remplace \(x^{n+1}\) pour \(x = 1\) et cela fait \(0\) pour \(x = 0\).

Bonne continuation

[Damien]

Je ne comprend pas toujours pourquoi c'est égal à 1. ou est parti le 1^n .merci pour votre aide

[SoS-Math(1)]

Bonsoir,
\(1^n = 1 \times 1 \times \ldots 1\) (Il y a n fois le nombre 1 dans la multiplication), donc c'est égal à 1.
A bientôt.

[Damien]

Merci beaucoup