arithmétique QCM

[Tom]

Bonjour, j'ai un petit problème ans un QCM dans le quel on est censé trouver une seule réponse juste.
Voici l'énoncé :

Soit n un entier naturel.
1) Si n est non nul, alors le reste de la division euclidienne de 2n²+n+5 par n est égal à 5.
2) Il existe n tel que le reste de la division de (2n+3)^4 par 5 soit égal à 3.
3) Si les restes respectifs de la division euclidienne de 26285 et 4605 par n différent de 0 sont 5 et 6, alors n=9 ou n=73.
4) Si n est non nul, le reste de la division euclidienne de 26n + 17 par 13n est égal à 17.

La
3 est juste c'est évident la 2 est fausse
mais la 1) et la 4) sont censées être fausses, mais je ne vois pas pourquoi, en effet, une résolution par congruence amène à trouver un reste de 5 pour la 1) et de 17 pour la 4).....

[sos-math(21)]

Bonjour,
Pour la 1 et la 4) cela provient de la propriété de la division euclidienne :
\(a=bq+r\) avec \(0\leq r<b\).
La "fausseté" des affirmations repose sur le fait que si \(n<5\) dans la 1), alors le reste va être strictement inférieur à 5 car on pourra enlever encore une autre fois n à 5. Pour te convaincre, essaie avec \(n=3\), \(2n^2+n+5=26\) et la division de 26 par 3 donne un reste égal à ....
Même chose avec la 4, si on prend pour \(13n\) une valeur inférieure à 17 : il y a moins de possibilités pour n.
Essaie avec \(n=1\) par exemple : \(26n+17=43\) et la division de 43 par \(13n=13\) donne un reste égal à .....
Bonne conclusion.