inégalité n!

[anthony]

Bonjour j'ai un petit problème de démonstration sans utiliser de récurrence je ne sais pas si c'est correct

Montrer que pour tout n appartenant N* \(\frac{n^n}{n!}\) \(\geq\) n

donc je décompose \(\frac{n^{n-1}*n}{n(n-1)!}\) \(\geq\) n

je divise par n
( n est positif et différent de 0 ) \(\frac{n^{n-1}}{(n-1)!}\) \(\geq\) 1

et ceci est toujours vrai trivial CQFD


Je vous remercie

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Anthony,

Attention d'un côté de l'inégalité tu simplifies par n et donc tu ne change pas la valeur du quotient.

\(\frac{n^{n-1}*n}{n(n-1)!} = \frac{n^{n-1}}{(n-1)!}\) après simplification, donc tu obtiens \(\frac{n^{n-1}}{(n-1)!}\geq{n}\).

D'autre part tu pars de l'inégalité pour la démontrer, ce n'est pas ce qui est le plus logique.

Pars plutôt de \(n^n=n\times{n^{n-1}}\geq{n\times{n\times(n-1)\times(n-2)...\times 2}\) et compare \({n\times(n-1)\times(n-2)...\times 2}\) et \((n-1)!\).

Bon courage pour la suite de ces calculs.

[anthony]

exact, c'était ce que j'avais fait sur papier mais j'ai perdu un n sur latex, je continuerai tête reposer merci pour la piste je vous remercie

[SoS-Math(11)]

C'est bien mais attention, je t'ai proposé de comparer \({n\times(n-1)\times(n-2)...\times 2}\) et \((n-1)!\) alors que c'est compare \({n\times(n-1)\times(n-2)...\times 2}\) et \(n!\), c'est mieux.

Bonne continuation

[anthony]

j'ai reussi, et après j'ai multiplié l'inégalité par n, j'en profite pour vous remercie l'aide précieuse que vous nous offrez. Respectueusement anthony

[SoS-Math(9)]

A bientôt Anthony,

SoSMath.