SOS-MATH

Bonjour,
je ne comprend pas cette propriété. Pouvez vous m'expliquer ?
Si f est continue sur un intervalle I et si a appartient à I alors
F(x)= intégrale de a à x de f(t)dt est l'unique primitive de f qui s'annule en a. Je ne vois pas pourquoi cette primitive s'annule en a, ni pourquoi c'est l'unique primitive de f.
Merci d'avance pour vos explications.

Bonjour Manon,

Un premier point, si tu as deux intégrales d'une même fonction, leur différence est un nombre réel, par exemple : les fonctions F et G définies respectivement par \(F(x)=x^2+x+4\) et \(G(x)=x^2+x+7\) sont deux intégrales de la même fonction définie par \(f(x) = 2x+1\), leur différence est \(3\).

Si tu as deux primitives d'une fonction \(f\) qui s'annulent au même point \(a\), cela veut dire que la différence entre les deux est nulle et donc qu'elles sont identiques. Conclusion il n'y a qu'une et une seule primitive de \(f\) qui s'annule en \(a\).

Ensuite tu as \(F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt\) qui a pour dérivée \(f(x)\) donc c'est une primitive de \(f\) or \(F(a)=\int_{a}^{a}f(t)dt =0\) donc c'est bien l'unique primitive de \(f\) qui s'annule pour \(x=a\).

Bonne continuation

D'accord, merci beaucoup.
Juste pour être sure, l'intégrations par partie n'est bien plus au programme ?

Non, c'est du programme de L1 et de prépa.

Bonne continuation

D'accord, merci

Juste une dernière question :
pour calculer l'intégrale ci dessous :
intégrale de 0 à -1 de t. (dt)
Dois ton dire que cela est égal à - intégrale de -1 à 0 de t (dt) et ensuite appliquer la formule ou bien peut on dire directement que cela est égal à F(-1)-F(0) ?

Bonjour Manon,

C'est pareil,\({ -(F(0)-F(-1))}={F(-1)-F(0)}\), mais c'est mieux du point de vue "logique" d'écrire que c'est l'opposé de l'intégrale de -1 à 0, on va du plus petit au plus grand.

Bonne continuation

D'accord, merci.