arithmétique et suite

[auguste]

Bonjour, voilà je n'arrive pas à trouver l'erreur dans ma démonstration (enfin je pense qu'elle doit ce situer au niveau des conditions pour appliquer le théorème de Bezout mais....)

voilà on a la suite (Yn) définie pour tout n appartenant à N par : Yn = 2^(n+2)-3 et (Xn) la suite définie pour tout n appartenant à N par Xn= 2^(n+1)+1
j'ai cherche le PGCD de Y0 et X0 puis de X1 et Y1 jusqu'à n=4 , j'ai donc émis l'hypothèse que le PGCD de ces suite était 1 pour tout n strictement supérieur à 1 (puisque pour n = 1 le PGCD est de 5)
je me lance donc dans une récurrence pour démontrer cette conjecture

Je fait l'initialisation pour n=2 , bon le PGCD est de 1 donc la propriété est vérifiée pour le premier rang
Je fait ensuite l'hérédité :
On suppose l'existence d'un entier naturel k tel que la propriété soit vraie, on cherche maintenant à démontrer la propriété au rang suivant c'est à dire k+1 tel que "pour tout n strictement supérieur à 1 PGCD de Xk+1 et de Yk+1 est égal à 1" soit vraie

Selon l'hypothèse de récurrence, on : PGCD(Xk;Yk)=1 équivaut à
il existe u et v 2 entiers relatifs tels que u.Xk + vYk = 1 avec bien sûr Xk et Yk premiers entre eux(cf théorème de Bezout)
équivaut à
u(2^(k+1)+1)+v.(2^(k+2)-3)=1
équivaut à
u(2^(2k+2))+v.(2^(k+3)+3)= 2-2u+9v
équivaut à
u(Xk+1)+v(Yk+1)= 2-2u+9v

Donc pour que Xk+1 et Yk+1 soient premiers entre eux, il faut que 2-2u+9v=1 (la réciproque marche aussi ici vu que le théorème de Bezout et une équivalence)
donc la je résouds l'équation diophantienne 2u-9v=1 (elle équivaut à 2-2u+9v=1)
là je trouve S={(9h-4;2h-1) avec h appartient à Z}
Ainsi, il existe u et v entiers relatifs tel que u(2^(2k+2))+v.(2^(k+3)+3)=1
Donc PGCD (2^(k+2);2^(k+3)+3)=1
donc PGCD (Xk+1;Yk+1)=1 pour tout k>1
donc propriété démontrée au range k+1

Conclusion : Pour tout n>1, on a PGCD (Xn;Yn) =1

Sauf que, ensuit j'ai calculé le PGCD de Xn et de Yn pour n=5 et j'ai trouvé 5, j'en ai déduis que ma démonstration et ma conjecture étaient faussent, bon ensuite j'ai réussi à démontrer la nouvelle conjecture avec des tableaux de congruences et des trucs qu'on avait démontré dans les questions antérieures.

Mais voilà j'aimerai quand même savoir où est mon erreur dedans, merci d'avance pour votre réponse

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Je ne comprends pas le passage suivant :

u(2^(k+1)+1)+v.(2^(k+2)-3)=1
équivaut à
u(2^(2k+2))+v.(2^(k+3)+3)= 2-2u+9v

Peux-tu détailler ?
A bientôt

[auguste]

u(2^(k+1)+1)+v.(2^(k+2)-3)=1
équivaut à
u(2^(k+2)+2)+v(2^(k+3)-6)=2 (on multiplie les 2 membres par 2)
équivaut à
u(2^(2k+2)+2)-2u +v.(2^(k+3)-3)+9v = 2-2u+9v
équivaut à
u(2^(2k+2))+v.(2^(k+3)+3)= 2-2u+9v (avec la distributivité)

n'est ce pas, non ?

[auguste]

non mais je me suis trompé
qu'est ce que j'ai marqué ?, c'est pas du tout juste ce que j'ai marqué, c'est complètement faux
u(2^(k+1)+1)+v.(2^(k+2)-3)=1
équivaut à
u(2^(k+2))+v.(2^(k+3)+3)= 2-2u+9v

là ça m'a l'air plus juste (on multiplie par 2, on développe puis on factorise et hop, normalement c'est bon)

[sos-math(21)]

Cela ne va pas, il faudra à gauche : \(u(2^{n+2}+1)+v(2^{n+3}-3)\) pour retrouver les suites au rang n+1.
Reprends cela

[auguste]

mais je comprends pas
u*(2^k+1)+1) + v*(2^(k+2)-3) = 1
équivaut à
2[u*(2^(k+1)+1) + v*(2^(k+2)-3)] = 2
équivaut à
2.u*2^(k+1)+2u + 2.v*2^(k+2)-6v =2
équivaut à
u.2^(k+3)+2u+v.2^(k+3)-6v = 2
équivaut à
u.2^(k+3) + 2u -2u +v.2^(k+3) -6v +9v = 2 -2u +9v
équivaut à
u.(2^(k+2))+v.(2^(k+3)+3)= 2-2u+9v

Je vois pas où est le problème ?

[sos-math(21)]

Ta première suite est définie par \(X_k=2^{k+1}+1\) donc il te manque un +1 dans ton expression...
Reprends cela

[aline]

je ne comprends pas aussi le passage suivant ,veuillez svp m'expliquez !!
u*(2^k+1)+1) + v*(2^(k+2)-3) = 1
équivaut à
2[u*(2^(k+1)+1) + v*(2^(k+2)-3)] = 2
équivaut à
2.u*2^(k+1)+2u + 2.v*2^(k+2)-6v =2

[sos-math(21)]

Bonjour,
Auguste part du théorème de Bezout :

u*(2^k+1)+1) + v*(2^(k+2)-3) = 1

en multipliant par 2 :

équivaut à
2[u*(2^(k+1)+1) + v*(2^(k+2)-3)] = 2

puis il développe : \(2u(2^{k+1}+1)+2v(2^{k+2}-3)=2\)
donc \(2u\times 2^{k+1}+2u+2v\times 2^{k+2}-2v\times 3=2\)
donc on a bien :

équivaut à
2.u*2^(k+1)+2u + 2.v*2^(k+2)-6v =2

Est-ce plus clair ?

[auguste]

.....
mais vu que 2^(k+1)+1 est un facteur de u, en développant cela me donne bien u*2^(k+1)+u , non ?
et ensuite je multiplie par 2 et ça me donne bien u*2^(k+2)+2u , comme ce que j'ai marqué, et ensuite j'ajoute dans chaque membre de l'équation -2u pour enlever "les u" dans la partie de gauche, je ne vois vraiment pas où est la faute, le +1 dans l'expression est devenu u en appliquant la distributivité
non ?

[auguste]

oui, ben c'est ce que vous avez écrit en fait plus haut,
et donc ma démonstration doit forcément être incohérente quelque part puisque je suis arrivé à une fausse conclusion qui correspond à ma première conjecture mais qui est en réalité totalement fausse. Et donc je voudrais savoir où est cette incohérence, ou ce mauvais raisonnement.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Le problème est dans la récurrence en elle-même : tu pars de l'existence de u et v tels que l'on ait l'égalité : cette existence est assurée par le théorème de Bezout, ok.
Le souci c'est que tu demandes ensuite à ces deux nombres entiers de vérifier en plus une autre condition ce qui n'est pas possible en général : u et v sont définis de manière définitive et il y a peu de chances qu'il vérifient la condition 2-2u+9v=1 (ou une autre, cela ne change rien).
D'autres u et v vérifient cette condition mais ils ne vérifieront pas la condition du départ et on n'a pas de moyen de trouver deux u et v qui marcheraient sur les deux conditions.
C'est tout le problème des questions d'existence : on sait que cela existe mais on ne sait rien d'autre et on ne peut donc pas manipuler ces nombres comme on veut.
Le seul moyen de s'en sortir serait alors, de montrer l'existence de u' et v' tels que ce soit vérifié au rang d'après, avec u' et v' exprimés en fonction de u et v : dans ce cas-là l'existence de u et v assurerait l'existence de u' et v'. Mais je doute que tu arrives à trouver u' et v', surtout si l'hypothèse est fausse....
Est-ce compris ?
Bonne continuation

[jean-jacques]

Bonsoir, excusez moi je n'ai pas bien compris ce que vous avez marquez en dernier, pourriez-vous reformuler ou préciser s'il vous plait ?
Merci d'avance.

Jean-Jacques

[sos-math(21)]

Bonjour,
Peux-tu préciser ce que tu n'as pas compris dans mon dernier message : je sais que cela n'est pas évident à faire comprendre car la notion d'existence en mathématiques est subtile et pas toujours facile à concevoir.
Je disais en gros que l'existence au rang n de deux entiers u et v était assurée avec le théorème de Bezout mais que cela ne présageait en rien l'existence d'entiers au rang n+1, car il était difficile d'établir une égalité de bezout au rang n+1 à partir de celle établie au rang n.
Il arrive parfois qu'on ait à prouver ce genre de récurrence et, quand cela est possible, on obtient souvent l'existence des coefficients au rang n+1 comme expression des coefficients au rang n mais, dans le cas qui nous intéresse ici, comme on part de quelque chose qui est manifestement faux, on aura du mal à trouver les coefficients au rang n+1.
Peut-être que c'est plus clair ainsi.
Bonne continuation.

[auguste]

merci pour toutes ces réponses,
en fait en gros pour résumer, l'existence des coefficients u et v est démontrée avec Théorème de Bezout, mais en passant à n+1, le problème est que l'on est obligé d'appliquer une autre condition sur ces u et v et donc là automatiquement si cette condition est appliquée alors le domaine de définition des u et v de départ n'est plus le même (on le restreint) et donc la en l'occurrence le PGCD égal à 1 n'est pas vérifié au rang n+1. On sait que pour certain rang n, PGCD est bien 1 mais le problème c'est que ce PGCD de 1 n'est pas vraie pour tout les rangs n.
Est ce bien cela ?
Et donc, pour que ma démonstration marche il aurait fallu qu'on retombe sur 1 au rang n+1 dans la partie de "droite" de l'équation.
Merci beaucoup.