SOS-MATH

Bonjour , j'ai une question que je ne comprend pas comment on arrive à un résultat.

Donc il faut faire 1-(0.6)^n > 0.999 ça je comprend
Mais à la correction ils donnent n> (3ln10)/((ln(5/3))

Comment on arrive à ce résultat ?

Merci

Bonjour,
Ton 0,6 peut s'écrire \(\frac{3}{5}\).
Ce calcul permet de trouver à partir de quel rang \(n\), on a \(1-\left(\frac{3}{5}\right)^n\geq 0,999\)
On passe le 1 de l'autre côté, cela donne \({-}\left(\frac{3}{5}\right)^n\geq 0,999-1\) soit \({-}\left(\frac{3}{5}\right)^n\geq -0,001\) que l'on peut écrire \({-}\left(\frac{3}{5}\right)^n\geq -10^{-3}\).
pour éliminer les signes "-", on peut multiplier par (-1) de chaque côté, ce qui change le sens de l'inégalité et donne \(\left(\frac{3}{5}\right)^n\leq 10^{-3}\)
en prenant les logarithmes de chaque côté, on fait "descendre" les puissances (relation \(\ln(a^n)=n\ln(a)\)) et on a donc \(n\ln\left(\frac{3}{5}\right)\leq -3\ln(10)\)
Or comme \(\frac{3}{5}<1\), on a \(\ln \left(\frac{3}{5}\right)<0\), donc on va diviser par un nombre négatif donc cela va changer le sens de l"inégalité :
\(n\geq\frac{-3\ln(10)}{\ln\left(\frac{3}{5}\right)}\),
Ensuite, on a \(\ln\left(\frac{3}{5}\right)=\ln(3)-\ln(5)=-(\ln(5)-\ln(3))=-\ln\left(\frac{5}{3}\right)\), ce qui permet de faire disparaitre les signes -.
et on a bien \(n\geq\frac{3\ln(10)}{\ln\left(\frac{5}{3}\right)}\),
Est-ce plus clair ?

Merci c'est parfait j'ai bien compris toute les étapes pour arriver au résultat final.

Très bien.
Bonne continuation