SOS-MATH

je bloque sur un exo sur les matrices, merci d'avance pour votre aide
Trois jeunes enfants viennent d'arriver à la garderie. Ils sont réapartis entre les deux salles A et B. Chaque demi-heure, on choisit au hasard un enfant, que l'on change de salle. On note Xn la variable aléatoire qui compte le nombre d'enfants dans la salle A au bout de n demi-heures.

a) Compléter graphe ci-dessous qui schématise le nombre d'enfants présents dans la salle A au bout de n demi heures et leurs déplacements possibles.

b) On note Pn=(P(Xn=0) P(Xn=1) P(Xn=2 P(Xn=3). Déterminer la matrice A telle que Pn+1=PnA.
c) On admet que ce processus possède un état stable S. Le déterminer. Quelle est la probabilité de ne trouver qu'un seul enfant dans la salle A en fin de journée je bloque dès la b) merci pour votre aide

Bonjour,
Commence par regarder les différents cas possibles à l'état n+1
- l'événement \(\left\big\lbrace X_{n+1}=0\right\big\rbrace\) n'est réalisé que si à la date précédente, on avait \(X_n=1\) : cela signifie qu'il restait un enfant dans la salle A et qu'on l'a retiré.
\(P( X_{n+1}=0)=P(X_n=1)\)
- l'événement \(\left\big\lbrace X_{n+1}=1\right\big\rbrace\) n'est réalisé que si on était dans l'une des deux situations à la date précédente : ou bien \(X_n=2\) et on a retiré un enfant de la salle A, ou bien \(X_n=0\) et on a retiré un enfant de la salle B pour le mettre dans la salle A. donc \(P(X_{n+1}=1)=...\)
....
Continue comme cela cela te permettra de déterminer des liens entre les vecteurs colonnes : \(P_n=\left(\begin{array}{c}P(X_n=0)\\P(X_n=1)\\P(X_n=2)\\P(X_n=3)\end{array}\right)\) et \(P_{n+1}=\left(\begin{array}{c}P(X_{n+1}=0)\\P(X_{n+1}=1)\\P(X_{n+1}=2)\\P(X_{n+1}=3)\end{array}\right)\)
Bon calcul.