SOS-MATH

Bonjour alors voila j'ai un exercice sur l'étude d'une fonction logarithme et j'aurai besoin d'aide s'il vous plaît...

Soit f la fonction définie sur R par f(x)= ln(1+e^x) et Cf sa courbe représentative.
1.a. Etudier les limites de f en + et -inf.
b. La courbe Cf admet elle une asymptote horizontale?
2. Dresser le tableau de variations de f.
3. Démontrer que l'équation f(x)=m admet une unique solution pour tout réel m strictement positif.
4. Déterminer l'équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 0.
5. Démontrer que la courbe Cf est située au dessus de la droite d d'équation y=x.
6. Construire la courbe Cf et les droites T et (d).

Merci par avance je poste où j'en suis dès que mon exercice me réapparaît...

Bonjour,

Explique d'abord ce que tu as fait.

sosmaths

Merci de m'avoir répondu ;)
Alors pour la 1)a)
en +inf lim (1+e^x)=+inf par composé
en -inf lim (1+e^x)=-inf par composé

b) admet une assymptote x=0 au voisinage de -infini

Ensuite pour la 2) j'ai fait la dérivée et je trouve f'(x)=e^x ln(e^x +1)
Le signe de f est donc moins plus f est donc décroissante puis croissante et s'annule en 1 ???

Par contre la 3) je n'ai pas très bien saisi la question?

La première limite est juste mais la seconde est fausse. Lorsque x tend vers - infini , lim( exp(x))=0, je te laisse continuer.

Quand à la dérivée, elle est fausse aussi, il faut utiliser la formule (ln(u))'= u'/u.

Pour la 3) il faudra surement utiliser le théorème des valeurs intermédiaires, mais d'abord il faut étudier les variations de f.


sosmaths

Oui du coup
En -infini
Lim ln(1+e^x)= ln1

Du coup asymptote x=1 au vousinage de -infini

Et ensuite pour la dérivée je trouve e^x/e^x +1
Le signe de f est moins plus f est donc décroissante puis croissante et elle s'annule en 1

Bonjour,

Ta dérivée est juste, son signe n'est pas "moins" puisque \(e^x\) est toujours positif.

Ta limite est juste, c'est bien \(ln(1)\) et \(ln(1)=0\), il faut donc corriger l'équation de ton asymptote.

Bonne journée

Ah oui donc la fonction est croissante sur -inf;+inf
Et la courbe admet une asymptote x=0 au voisinage de -inf.

Ensuite pour f(x)=m je sais que je dois utiliser le théorème des valeur intermédiaire mais je ne sais pas comment faire avec un m??

Attention, en \({-} \infty\) l'asymptote est horizontale et son équation est donc y=0 (et pas x=0).

Commence par le faire pour m=2 par exemple puis ensuite tu généraliseras pour m réel strictement positif quelconque.

Ah oui c'est bon en fait c'est simple:
Lim de f(x) qd x tend vers -inf= 0
Lim de f(x) qd x tend vers +inf=+inf
m appartient a 0;+infini
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaire f(x)=m admet une unique solution. ;)

Ensuite pout la tangente je trouve y=1/2x+ln2

Mais par contre je ne sais pas comment montrer que Cf est située au dessus de y=x
je sais que je dois faire f(x)-x ce qui me donne ln(1+e^x)-x mais après je ne sais pas quoi faire ?