SOS-MATH

Bonjour à tous alors voila j'ai un exercice basé sur les suites et le logarithme népérien.

La suite (Un) est géométrique de raison 1/2 et de premier terme Uo=5. On pose Wn= ln(Un).

1/ Exprimer Un et déterminer sa limite.
2/ Ecrire un algorithme qui permet de trouver le rang n à partir duquel Un<10^-5
3/ A partir de quel rang n a-t-on Un<10^-5 (le démontrer rigouresement).
4/ Exprimer Wn en fonction de n. Quelle est la nature de la suite (Wn)? Déterminer sa limite.
5/ Exprimer en fonction de n, Sn= Wo+W1+....+Wn.

Alors pour la
1/ j'ai mis que Un=5*(1/2)^n
2/ je n'ai pas réussi à le faire
3/du coup je ne peux pas faire la 3/
4/ On sait que Un=5*(1/2)^n
et que Wn=ln(Un)
Soit, Wn= ln(5*(1/2)^n).

Merci d'avance

Bonjour,
Ok pour l'expression de \(U_n\).
Maintenant, tu sais des choses sur la convergence des suites géométriques selon la valeur de la raison :
- si \(q>1\), alors ....
- si \(0<q<1\), alors ...
L'algorithme doit se baser sur une boucle avec arrêt : TANT QUE ...>10^-5, FAIRE...
Pour \(W_n\), il faut que tu utilises les propriétés du logarithme \(\ln(a\times b)=\ln(a)+\ln(b)\) et \(\ln(a^n)=n\ln(a).\).
A toi de mettre cela en forme.

sos-math(21) a écrit :Bonjour,
Ok pour l'expression de \(U_n\).
Maintenant, tu sais des choses sur la convergence des suites géométriques selon la valeur de la raison :
- si \(q>1\), alors ....
- si \(0<q<1\), alors ...
L'algorithme doit se baser sur une boucle avec arrêt : TANT QUE ...>10^-5, FAIRE...
Pour \(W_n\), il faut que tu utilises les propriétés du logarithme \(\ln(a\times b)=\ln(a)+\ln(b)\) et \(\ln(a^n)=n\ln(a).\).
A toi de mettre cela en forme.

==>ah oui c'est vrai du coup la limite de Un est 0 vu que -1<q<1.

==> Et pour Wn c'est Wn= ln(Un)=ln(5*(1/2)^n) = ln5+ ln(1/2)^n = ln5+nln(1/2).
C'est bien ça n'est ce pas??

Bonsoir,

Tu as bien \(W_n=ln(5)+n\times ln(\frac{1}{2})=ln(5)-n\times ln(2)\).

Bonne continuation

Ok merci par contre je ne sais pas comment déterminer la nature de cette suite?

Ah je pense que c'est bon Wn est une suite arithmétique de raison -ln2 et de premier terme W0=ln5

Bonsoir,

Tout à fait une suite arithmétique peut être définie par \(u_n=u_0+n \times r\) où \(r\) est la raison.

Bonne continuation

Ok merci par contre j'ai déja fait la limite d'une suite géométrique mais pas celle d'une arithmétique?

La limites sont \({+\infty}\) si la raison est positive et \({-\infty}\) si la raison est négative.

La formule est celle d'une fonction affine et son sens de variation et sa limite sont les mêmes.

Bonne fin d'exercice

Ah ok du coup ici vu que la raison est négative la limite de Wn est - infini

Ensuite pour la dernière question Sn= [(n+1)(Uo+Un)]/2
= [(n1)(ln5+ln5-nln2)]/2 c'est bien ça?

Oui, tu appliques la formule \(S_n=(n+1)\frac{W_0+W_n}{2}\) ce qui te donne bien \((n+1)\frac{ln5+ln5-nln2}{2}\).

Bonne continuation

Merci beaucoup SoS Maths ;) Et a bientot!