SOS-MATH

Bonjour, l'exercice suivant me pose problème à partir de la question d). Voici le sujet :
Pour tout entier naturel n, on pose :
In=\(\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}x^{n}sin(3x)dx\)

a) Calculer I0.
(J'ai trouvé I0=\(\frac{1}{3}\)).

b) Déterminer la dérivée de la fonction : f(x)=\(\frac{-1}{3}xcos(3x)+\frac{1}{9}sin(3x)\).
(J'ai trouvé f'(x)=\(xsin(3x)\)).

c) Calculer I1.
(J'a itrouvé I1=\(\frac{1}{9}\)).

d) Démontrer que la suite (In) est minorée.

e) Démontrer que la suite (In) est monotone.

f) Démontrer que la suite (In) est convergente.

g) Pour tout entier naturel n, comparer In à \(\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}x^{n}dx\).

h) Déterminer la limite de la suite (In).

Merci d'avance pour votre aide :) !

Bonjour,
Sur l'intervalle \(\left[0\,;\,\frac{\pi}{6}\rigth]\), la fonction \(f(x)=x^n\sin(3x)\) est positive donc son intégrale est .... donc \(I_n\) est minorée par ...
sur ce même intervalle \(\left[0\,;\,\frac{\pi}{6}\right]\subset[0\,;\,1]\), on a \(x^{n+1}\leq x^n\) donc ....\(f_{n+1}(x)...f_n(x)\) donc \(I_{n+1}...I_n\)
Tu en déduiras la convergence avec un théorème du cours.
Bons calculs.

Merci de m'avoir répondu.
d) Sur l'intervalle \([0 ; \frac{\pi}{6}]\), la fonction \(f(x) = x^{n}sin(3x)\) est positive donc son intégrale est positive donc In est minorée par 0 ?
e) Et sur cet intervalle on a \(x^{n+1} \leq x^{n}\) donc fn+1(x) \(\leq\) fn(x) donc In+1 \(\leq\) In donc la suite est décroissante : elle est monotone.
f) Toute suite minorée et décroissante est convergente.
Merci pour ces questions :)) !
g) Pour comparer In à \(\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}x^{n}dx\) je dois étudier le signe de leur différence c'est bien ça ?

Tu as bien utilisé mes aides, c'est très bien.
Pour la dernière question, je comparerais plutôt les fonctions, \(x^n...x^n\sin(3x)\), c'est assez facile et ensuite, par croissance de l'intégrale j'en obtiendrais une comparaison avec \([tex]\)\(I_n\)[/TeX].
Bonne étude.

Je comprends mieux ce que je dois obtenir, cependant je n'arrive pas à savoir comment est \(x^{n}\) par rapport à \(x^{n}sin(3x)\) ... Comment dois-je faire ? :$

Tu sais que pour tout \(x\in\left[0\,\;\,\frac{\pi}{6}\right]\), donc \(3x\in\left[0\,\;\,\frac{\pi}{6}\right]\) et donc \(\sin(3x)\in[0\,;\,1]\).
Donc \(sin(3x)\leq 1\) donc en multipliant par \(x^n\geq 0\) de chaque côté...

Donc on a \(x^{n}sin(3x) \leq x^{n}\) donc \(\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}x^{n}sin(3x)dx \leq \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}x^{n}dx\) équivaut à In \(\leq \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}x^{n}dx\).
Merci beaucoup !
Et enfin pour la question h) dois-je utiliser le théorème des "gendarmes" ?

Je pense que tu as raison, car le calcul de \(J_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}x^n dx\) se fait bien et donne un nombre qui tend vers 0 quand \(n\to+\infty\).
Bonne conclusion.

Merci beaucoup de votre aide :) ! Bonne soirée

Très bien.
Je verrouille le sujet.
Bonne continuation.