DM de maths, nombres complexes

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eleve86
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DM de maths, nombres complexes

Message par eleve86 » lun. 24 févr. 2014 18:35

Bonjour,
j'ai un dm à rendre pour la rentrée, et j'en ai déjà fait les trois quarts, mais je bloque un peu sur les deux dernières questions.

voici mon énoncé :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthornormal direct (O, \(\vec{u}\) ; \(\vec{v}\) ).
Soit z un nombre complexe différent de -1 ; 0 ; 1.
On note M, A, B les points d'affixes respectives z, z² , \(z^{3}\) .

1) Vérifier que les points M, A, B sont distincts deux à deux.
Ici j'ai prouvé que z=z² si z=0 ou si z=1 or z différent de 0 et 1.
Idem pour z= \(z^{3}\) et z² = \(z^{3}\). on trouve alors les trois "solutions" -1 , 0 et 1.

2) On considère le nombre complexe Z = \(\frac{z^3 - z}{z^2 -z}\) .
a) Interpréter, dans le triangle ABM, le module et un argument de Z.
Ici, je trouve |Z| = |z+1| et arg(Z) = ( \(\vec{MA}\) ; \(\vec{MB}\) )
b) Simplifier ce rapport. En déduire que le triangle ABM est :
- isocèle en M si et seulement si |z+1| = 1
ici j'ai fait : si |z+1| = 1, alors |Z| = |z+1| = 1 donc MB=MA, par conséquent ABM est isocèle en M.

- rectangle en M si et seulement si (z+1) + ( \(\overline{z+1}\) ) = 0 .
ici j'ai fait : ( \(\vec{MA}\) ; \(\vec{MB}\) ) + ( \(\vec{MB}\) ; \(\vec{MA}\) ) =0
ce qui donne (z+1) + ( \(\overline{z+1}\) ) = 0
-(z+1) = ( \(\overline{z+1}\) )
d'où Z est un imaginaire pur donc arg(Z) = \(\frac{pi}{2}\) + k\(\pi\)
alors ABM rectangle en M.

et là sont les deux questions où je bloque :

3) Déterminer l'ensemble (E) des points M tels que le triangle ABM soit isocèle en M.
j'ai pensé ici à la médiatrice de [AB] avec z différent de -1 ; 0 et 1 mais comment le prouver ? et pour le milieu de [AB], doit-on dire médiatrice de [AB] sauf milieu de [AB] ou non ? et si oui, comment le prouver ?

4) Déterminer l'ensemble (F) des points M tels que ABM soit rectangle en M.
ici, j'avais pensé au cercle de diamètre [AB], mais j'imagine que c'est sauf les points A et B. et comment le prouver ?

Je vous remercie d'avance pour votre aide,

eleve86.
sos-math(21)
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Re: DM de maths, nombres complexes

Message par sos-math(21) » lun. 24 févr. 2014 23:23

Bonsoir,
Il faut poursuivre la caractérisation : MA=MB si et seulement si \(|z+1|=1\) soit \(|z+1|^2=1\) donc en prenant \(z=x+iy\), on obtient \((x+1)^2+y^2=1\).
On retrouve un ensemble géométrique bien connu...
Même chose avec le triangle rectangle : \(z+1+\bar{z+1}=0\) soit \(x+1+iy+x+1-iy=0\) : je te laisse conclure.
Bonne soirée.
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