DM de maths, nombres complexes

[elevedu86]

Bonjour,
j'ai un dm à rendre pour la rentrée, et j'en ai déjà fait les trois quarts, mais je bloque un peu sur les deux dernières questions.

voici mon énoncé :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthornormal direct (O, \(\vec{u}\) ; \(\vec{v}\) ).
Soit z un nombre complexe différent de -1 ; 0 ; 1.
On note M, A, B les points d'affixes respectives z, z² , \(z^{3}\) .

1) Vérifier que les points M, A, B sont distincts deux à deux.
Ici j'ai prouvé que z=z² si z=0 ou si z=1 or z différent de 0 et 1.
Idem pour z= \(z^{3}\) et z² = \(z^{3}\). on trouve alors les trois "solutions" -1 , 0 et 1.

2) On considère le nombre complexe Z = \(\frac{z^3 - z}{z^2 -z}\) .
a) Interpréter, dans le triangle ABM, le module et un argument de Z.
Ici, je trouve |Z| = |z+1| et arg(Z) = ( \(\vec{MA}\) ; \(\vec{MB}\) )
b) Simplifier ce rapport. En déduire que le triangle ABM est :
- isocèle en M si et seulement si |z+1| = 1
ici j'ai fait : si |z+1| = 1, alors |Z| = |z+1| = 1 donc MB=MA, par conséquent ABM est isocèle en M.

- rectangle en M si et seulement si (z+1) + ( \(\overline{z+1}\) ) = 0 .
ici j'ai fait : ( \(\vec{MA}\) ; \(\vec{MB}\) ) + ( \(\vec{MB}\) ; \(\vec{MA}\) ) =0
ce qui donne (z+1) + ( \(\overline{z+1}\) ) = 0
-(z+1) = ( \(\overline{z+1}\) )
d'où Z est un imaginaire pur donc arg(Z) = \(\frac{pi}{2}\) + k\(\pi\)
alors ABM rectangle en M.

et là sont les deux questions où je bloque :

3) Déterminer l'ensemble (E) des points M tels que le triangle ABM soit isocèle en M.
j'ai pensé ici à la médiatrice de [AB] avec z différent de -1 ; 0 et 1 mais comment le prouver ? et pour le milieu de [AB], doit-on dire médiatrice de [AB] sauf milieu de [AB] ou non ? et si oui, comment le prouver ?

4) Déterminer l'ensemble (F) des points M tels que ABM soit rectangle en M.
ici, j'avais pensé au cercle de diamètre [AB], mais j'imagine que c'est sauf les points A et B. et comment le prouver ?

Je vous remercie d'avance pour votre aide,

elevedu86.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Il faut poursuivre la caractérisation : MA=MB si et seulement si \(|z+1|=1\) soit \(|z+1|^2=1\) donc en prenant \(z=x+iy\), on obtient \((x+1)^2+y^2=1\).
On retrouve un ensemble géométrique bien connu...
Même chose avec le triangle rectangle : \(z+1+\bar{z+1}=0\) soit \(x+1+iy+x+1-iy=0\) : je te laisse conclure.
Bonne soirée.

[elevedu86]

Bonjour,

Je suis désolée je ne saisis pas trop...

Pour la question 3, lorsque je fais MA=MB si et seulement si |z+1|=1 j'obtiens bien (x+1)² + y² = 1 . Mais là je ne saisis pas.. Serait-ce plutôt pour cette question que l'ensemble (E) est un cercle de rayon 1 ? et si oui, les points A et B sont-ils bien compris dans l'ensemble ?

Pour la question 4, j'ai fait ce que vous m'avez conseillé et j'obtiens bien : x + iy + 1 + x + 1 - iy = 0
à ce moment là je simplifie et j'obtiens x = -1 .
Mais quel ensemble (F) suis-je censée trouver ici ? Est-ce ici que je dois obtenir l'ensemble (F) médiatrice de [AB] ?

Merci de votre aide !

elevedu86

[sos-math(21)]

Bonsoir,
L'équation \((x+1)^2+y^2=1\) est celle du cercle de centre \((-1\,;\,0)\) et de rayon 1.
L'équation \(x=-1\) est celle de la droite verticale passant par \((-1\,;\,0)\).
Ces ensembles géométriques décrivent les positions possibles du point M d'affixe \(z\) qui vérifient les conditions demandées.
Que dire de plus ?
Bonne continuation.

[elevedu86]

Bonjour,

merci beaucoup de votre aide ! J'ai désormais tout compris !


En revanche j'ai une question pour un autre exercice de mathématiques :

on me donne In la longueur de la ligne brisée A0 A1 A2 A3...A(n-1) An .
on a ainsi In = A0A1 + A1A2 + ... + A(n-1)An
Il faut que j'exprime In en fonction de n.
Je précise que les points An sont les points d'affixes Zn où Z(n+1) = \(\frac{1+i}{2}\)Zn
On sait aussi que la suite Un = |Zn| et Un = 2(\(\frac{1}{\sqrt{2}\))^n soit Un géométrique

Je ne parviens pas à appliquer la formule de somme des termes consécutifs d'une suite géométrique car on a pas In = A1 + A2 + ... + An ...
Un coup de pouce s'il vous plait ?

Merci encore et d'avance !

elevedu86.

[sos-math(20)]

Par exemple :
\(A_0A_1= |z_1-z_0|=|\frac{1+i}{2}z_0-z_0|=| \frac{1+i}{2}-1| \times |z_0|= |\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i| \times |z_0|=\frac{1}{\sqrt{2}}|z_0|\).

Je te laisse généraliser pour \(A_{n-1}A_n\) puis additionner.

Bon courage

SOS-math

[elevedu86]

Bonjour,

d'accord je vais essayer ça ! Je vous tiens au courant si je n'y arrive pas, mais merci beaucoup de m'avoir aidée !

A bientôt !
elevedu86

[sos-math(21)]

Bonjour,
Tu devrais te retrouver avec la somme des premiers termes d'une suite géométrique, et tu devras surement utiliser la formule :
\(1+q+q^2+...+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\).
Bon courage

[Coco]

Bonjour,
J'ai le même DM à faire mais je bloque à la question 2)a.
Merci d'avance !

[sos-math(20)]

Bonjour,

Tout d'abord merci de créer votre propre message et de vous connecter avec votre prénom.

Ensuite de n'allons pas faire l'exercice à votre place, et la question que vous posez concerne directement le cours : c'est donc dans votre cours que vous trouverez des réponses.

Bon courage et à bientôt sus SOS-math