Intégrale exercice

[Salah TS]

Bonsoir ,
Je fais appelle a vous car j'ai de grande difficulté sur cette exo sachant que nous avons commencez les intégrales seulement vendredi en cours je me permet de vous sollciter afin d'obtenir de l'aide ,voici l'énoncer en piece jointes ainsi que le début de mon exo que j'ai décider de scanner par soucis de clarter .

Merci d'avance je vous souhait une bonne soirée ,
Cordialement
Salah

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Pour la croissance de la suite \((I_n)\), il faudrait que tu établisses que pour tout entier n, on a \(\frac{1}{1+t^n}\leq \frac{1}{1+t^{n+1}}\leq 1\)
Ensuite, en passant aux intégrales dans cette inégalité, on garde le même sens de l'intégrale (on dit que l'intégrale est une opération croissante), on aurait
\(\int_{0}^{1}\frac{1}{1+t^n}dt\leq \int_{0}^{1}\frac{1}{1+t^{n+1}}dt\leq \int_{0}^{1} 1dt\), ce qui prouverait que \(I_n\leq I_{n+1}\leq 1\) ce qui montrerait en même temps que la suite \((I_n)\) est croissante et majorée par 1.
de plus, on en déduit que la suite est .... (croissante+majorée donne ...).
Établis déjà cela.

[Salah TS]

Bonjour et merci de votre réponse
Donc je dois faire une récurrence pour la question 1b ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
Je te signale juste que mon précédent message est LA réponse à la question 1b, donc si tu fais ce que je te dis, tu auras prouvé la croissance et la majoration directement donc une récurrence n'est pas nécessaire ici.
Bon courage pour la suite.

[Salah TS]

Merci votre réponse je sais pas comment établir ,si vous pouviez m'éclaicir,ça serait gentil.

[sos-math(21)]

Il faut partir d'une égalité évidente :
\(0\leq t\leq 1\), ensuite on multiplie par \(t^n\) qui est un nombre positif donc l'ordre est conservé :
\(0\leq t^{n+1}\leq t^{n}\)
ensuite on ajoute 1 à cet encadrement :
\(1\leq 1+t^{n+1}\leq 1+t^{n}\).
Il faut ensuite passer à l'inverse, on sait que la fonction inverse est décroissante donc cela va changer le sens de l'inégalité ; on aura donc
\(\frac{1}{1+t^{n}}\leq \frac{1}{1+t^{n+1}}\leq 1\)
Il reste ensuite à intégrer entre 0 et 1, l'intégrale étant une opération croissante (déjà dit), on aura ....
Je te laisse terminer, j'en ai assez dit.

[Salah TS]

Merci j'ai compris il faut proceder par étape merci beaucoups

[sos-math(21)]

Bon courage pour la suite.

[Salah TS]

Pouvez vous m'aidez pour la 3)a S'il vous plait ?

[sos-math(21)]

Pour justifier que c'est dérivable, il faut se ramener aux fonctions de référence en disant que \(F_n\) est composée de fonctions dérivables...
Je te laisse trouver lesquelles.
Pour le calcul, tu connais tes formules de dérivation, il faut y aller...

[Salah TS]

C'est un produit de fonction qui sont elles meme dérivable la fonction ln est dérivable sur [0;1] tant comme x/n

et j'utilise u'v+uv' et je trouve xn^n-1/1+x^n

Pouvez vous m'aider pour la b) ?

[Salah TS]

La fonction Fn est dérivable sur [0;1] car c'est un produit de fonction elles memes dérivable .La fonction ln est dérivable sur [0;1] tout comme x/n j'utilise uxv=u'v+uv' et je trouve xn^n-1/1+x^n

Pouvez vous m'aidez pour la 3)B

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Salah,

Ta dérivée est fausse !
\(F_n(x) = u v\)
avec \(u = \frac{x}{n}\) et \(v = ln(1 + x^n)\)

Peux-tu me donner u' et v', pour que je puisse comprendre ton erreur ?

SoSMath.

[Salah TS]

Bonsoir biensur
u'=1/n
v'=u'/u

[SoS-Math(9)]

Salah,

oui pour u'.
Mais lorsque tu écris v'=u'/u c'est quoi u ?

SoSMath.