Chiffrement par transformation affine

[Martin]

Bonjour, j'ai un petit problème de spé maths, concernant le chiffrement.
Voici l'énoncé :
"A a pour équivalent 0, B 1, C 2, etc...
Soit (E) l'ensemble des entiers compris en 0 et 25. On définit un système de codage avec la transformation f : si x appartient à (E), alors x -> y, où y est le reste de la division euclidienne de ax + b par 26, avec a et b appartenant à (E) et a non nul.

1. Je devais montrer que si f(x)=f(x'), alors x=x' lorsque a et 26 sont premiers entre eux. J'ai remplacé f(x) par y et par ax + b - 26q et j'ai obtenu a(x-x')=26(q'-q) et donc d'après Gauss 26 divise x-x', or x-x' est compris entre -25 et 25, donc x-x' = 0 d'où x=x'.

2. Je dois montrer que si PGCD(a,26)=d avec d différent de 1 alors il existe des lettres codées de la même façon. J'ai pensé à réutiliser mon égalité a(x-x')=26(q'-q), et en disant qu'il existe un réel k tel que 26(q'-q)=d*k*(x-x'), alors il peut exister x et x' tels que x-x' différent de 0... Dans ce cas on a f(x)=f(x') alors que x est différent de x'. Mais ça me semble insuffisant comme démonstration...

3. En déduire les couples (a,b) définissant un bon codage. Combien y a-t-il de tels couples ? Combien y a-t-il de codages différents ?
J'imagine que a doit être premier avec 26 donc a ne doit pas prendre les valeurs 2 et 13, et a ne prend pas la valeur 0, et comme a appartient à (E), a peut prendre 23 valeurs différentes, et b 26, donc il existe 23*26=598 couples et donc codages différents. Est-ce exact ?

4. J'ai réussi à montrer avec Bezout que si a est premier avec 26 alors il existe un entier a' de (E) tel que aa' est congru à 1[26].

5. On me demande ensuite de déduire une formule de décodage, c'est à dire une expression de x en fonction de y, a, b et a' si on a y=f(x).

Pourriez-vous m'éclairer ? Merci d'avance pour votre réponse.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Martin,

Question 2 : Je pense qu'il est plus simple de trouver deux lettres qui sont codées de la même manière si \(a = 2\) ou \(a = 13\). Pour chercher de tels exemple le plus simple est de prendre \(b = 0\). Ta démonstration est en effet insuffisante.

Question 5 : Tu as \(y=ax+b-26q\) multiplie chaque membre de l'égalité par \(a^,\) et déduis-en une méthode pour retrouver \(x\).

Les autres questions semblent bien traitées.

Bon courage

[Martin]

Pour la question 2, en posant b = 0, on obtient des lettres identiques si a = 13 ou a = 2k, de manière plus générale, non ?

[SoS-Math(11)]

Bonjour,

C'est bien cela, A et N si je ne me trompe pas sont codées A.

Bonne continuation