SOS-MATH

Bonsoir,
J'ai besoin d'aide pour la résolution d'une limite de logarithme. Voici mon travail, mais je reste bloqué même après avoir factorisé, faut-il que je refactorise là où la forme est indéterminée ?

Bonsoir Baptiste,

Je pense que tu peux refactoriser ainsi : \(\frac{ln(x)(1+\frac{ln(1+x)}{ln(x)})}{ln(x)(1+\frac{ln(2+\frac{1}{x})}{ln(x)})}\) et cela devrait suffire pour lever l'indétermination.

Bonne continuation

Vous pensez qu'à partir de cette expression je peux atteindre l'expression que vous proposez ? Je ne vois pas comment ...

Votre expression ne laisse-t-elle pas des indéterminations ? Ln(1+x)/ln(x) en plus infini ça revient à la forme indéterminée +infini/+infini ...?

Bonsoir,

Il n'y a plus de forme indéterminée mais il y a une erreur dans la formule que je t'ai envoyée il faut lire \(\frac{ln(x)(1+\frac{ln(1+\frac{1}{x})}{ln(x)})}{ln(x)(1+\frac{ln(2+\frac{1}{x})}{ln(x)})}\) et non pas \(\frac{ln(x)(1+\frac{ln(1+x)}{ln(x)})}{ln(x)(1+\frac{ln(2+\frac{1}{x})}{ln(x)})}\).
J'ai mal recopié ta solution scannée sur ta feuille.

Mille excuses et bon courage

Bonsoir,
Mon collègue est parti de ton expression et il a factorisé par \(\ln(x)\) au numérateur et au dénominateur pour obtenir :
\(\frac{ln(x)(1+\frac{ln(1+\frac{1}{x})}{ln(x)})}{ln(x)(1+\frac{ln(2+\frac{1}{x})}{ln(x)})}\)
La factorisation permet de simplifier par \(\ln(x)\)... il reste....
Ensuite les deux quotients comportant du ln ont une limite finie : l'indéterminée est levée.
Bonne conclusion

Oui je trouve 1 finalement !
Et la même limite en x tend vers 0 par contre ça fait (1+ (+infini/-infini))/(1+(+infini)/(-infini)), c'est bien une forme indéterminée ?

Bonsoir,
pour cette limite, c'est plus délicat...
Connais-tu \(\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(x+1)}{x}\) ?
Sinon, je te la donne : si on part du quotient : \(\frac{\ln(x+1)-\ln(0+1)}{x-0}\) , c'est le taux d'accroissement de la fonction \(t\mapsto \ln(t+1)\) entre 0 et \(x\).
Or ce taux a une limite finie quand x tend vers 0 : c'est le nombre dérivé de la fonction en 0, \(f'(0)=\left(\ln(x+1)\right)'(0)=g(0)\) où \(g(x)=f'(x)=\frac{1}{x+1}\)
Donc \(\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(x+1)}{x}=1\) : cela doit t'aider un peu si tu écris ta fonction de départ ainsi :
\(\frac{\ln(x+1)}{\ln(2x+1)}=\frac{\ln(x+1)}{x}\times \frac{2x}{\ln(2x+1)}\times \frac{1}{2}\), je te laisse comprendre pourquoi...
Bon courage

En effet je connais cette méthode mais c'est la première que je l'applique dans cette situation. Je comprends donc votre écriture mais je ne comprends cependant pas ppourquoi vous multipliez par 1/2 .... En reprenant votre méthode je trouve bien le même résultat mais sans ce facteur 1/2 ....

Bonjour Baptiste,

Es-tu d'accord sur le fait que ton expression est bien égale à :

\(~ \frac{\ln(x+1)}{\ln(2x+1)}\)

Ensuite, on peut écrire :

\(~ \frac{\ln(x+1)}{\ln(2x+1)}=\frac{\ln(x+1)}{x}\times \frac{x}{\ln(2x+1)}\)... Toujours d'accord ?

Tu connais maintenant \(~ \lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(x+1)}{x}\) .

Il reste le deuxième quotient : \(~ \frac{x}{\ln(2x+1)}\).

Pour celui-ci, on multiplie par 2 le numérateur pour avoir \(~ 2x\) (comme au dénominateur) donc il faut aussi diviser par 2.... C'est pourquoi il y a un facteur de \(~ \dfrac{1}{2}\) :

\(~ \frac{x}{\ln(2x+1)} = \dfrac{1}{2} \times \frac{2x}{\ln(2x+1)}\).

Il reste à calculer c la limite de : \(~ \frac{2x}{\ln(2x+1)}\) lorsque x tend vers 0 puis à conclure.

Si tu observes bien, tu peux encore utiliser : \(~ \lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(x+1)}{x}\).

Bon courage !

Mais pourquoi multipliez-vous le numérateur par 2 pour qu'il fasse pareil que le dénominateur ? On ne peut pas y laisser comme ça sans multiplier et écrire que x/ln(1+2x)= 1/f' (x) ?
Si je laisse 2x en numérateur dans ce cas ça fait 2/f'(x) ?

Bonjour Baptiste,

L'idée pour calculer la limite de \(\frac{x}{\ln(2x+1)}\) est d'utiliser une limite de référence ... et ta limite ressemble à \(\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(x+1)}{x}\) ... avec 2x à la place de x. D'où l'idée d'écrire : \(\frac{x}{\ln(2x+1)}=\frac{1}{2}\frac{2x}{\ln(2x+1)}\)
alors tu as une limite composée à étudier :
\(\lim_{x\to 0}2x=0\) puis \(\lim_{X\to 0}\frac{\ln(X+1)}{X}=1\) donc \(\lim_{x\to 0}\frac{\ln(2x+1)}{2x}=1\).

Il ne te reste plus qu'à conclure pour la limite rechercher ....

SoSMath.

Mais il faut donc que je prenne l'inverse de lim = 1 pour inverser numérateur et dénominateur et obtenir lim de 2x/(ln(2x+1)) ?

Bonjour,
Oui, c'est cela.
Bon calcul