SOS-MATH

Bonjour !

J'ai un problème avec une question sur les nombres de Mersenne, la voici :
"Pour tout n\(\geq\)2, montrer que si r est le reste de la division euclidienne de a par b, alors Mr est le reste de la division euclidienne de Ma par Mb. (Nombre de Mersenne : Mn = \(2^{n}\)-1 )

En utilisant a = bq + r, je suis arrivé à l'égalité \(2^{a}\) = \(2^{bq + r}\), et en essayant de faire apparaître les nombres de Mersenne, je suis arrivé à :
Ma = [(\(2^{b}\))^(q-1) \(\times\) \(2^{r}\)] * Mb + (\(2^{b}\))^(q-1) * \(2^{r}\) - 1
Alors évidemment, si (\(2^{b}\))^(q-1) = 1, ça serait parfait, mais m'étonnerait... Alors je suis coincé là.
Sinon, avec les questions antérieures, j'ai montré que si d divise n, alors Md divise Mn, et que si n est composé, alors Mn est composé.
Pourriez-vous m'aider et me guider vers une meilleure voie ?

Merci d'avance pour votre réponse.

Bonjour,
si tu écris la division euclidienne de \(a\) par \(b\), il existe un entier \(q\) et un entier \(r\), \(0\leq r<b\), tels que \(a=bq+r\)
En élevant à la puissance 2 ce nombre on a \(2^a=2^{bq}.\times 2^r\) donc \(2^a-1=2^{bq}2^r-1\) et c'est là qu'il faut écrire quelque chose de rusé :
\(2^a-1=(2^{bq}-1)2^r-1+2^r\) donc \(2^a-1=(\left(2^b\right)^q-1).2^r+2^r-1\).
Or, le nombre \(\left(2^b\right)^q-1\) est divisible par \(2^b-1\).
En effet, si on reprend la somme des termes d'une suite géométrique de raison \(x\) différente de 1, on a \(1+x+....+x^{n-1}=\frac{x^n-1}{x-1}\) donc \(x^n-1=(x-1)(1+....+x^{n-1})\) donc il existe un nombre entier \(Q\), tel que \(\left(2^b\right)^q-1=(2^b-1)Q\).
On a donc prouvé que \(2^a-1=(2^b-1)Q+2^r-1\)
Il te reste à montrer que le nombre \(2^r-1\) est bien le reste de cette division...
Bonne suite

Malheureusement je ne dispose pas de cette ruse... En attendant, grâce à vous j'ai compris, alors merci beaucoup !

Il me parait difficile d'y arriver autrement.
C'est une démonstration corsée pour un niveau terminale.
Pour montrer que \(2^r-1\) est bien le reste de la division, il faut montrer \(0\leq 2^r-1<2^b-1\).
C'est assez facile en partant de la condition sur \(r\) : \(0\leq r <b\).
Bonne conclusion.