SOS-MATH

Bonjour,
J'ai besoin d'aide pour l'exo suivant, merci d'avance
n désigne un entier naturel
a=7n^2+4
b=n^2+1
1/Démontrer que tout diviseur commun à a et b est un diviseur de 3 ( je pense qu'il faut trouver une combinaison linéaire qui élimine n^2)
2/a)Expliquer pourquoi si PGCD(a,b)=3 alors il existe un nombre entier naturel k tel que n^2+1=3k
b)Démontrer que cela est impossible par disjonction de cas
3.En déduire PGCD(a,b)
Merci

Bonjour,

1) oui, tu penses bien, trouve cette combinaison linéaire, c'est facile.
2)a) si le pgcd est 3, donc 3 divise b, donc .............

b) essaye n=3p puis n=3p+1 puis n=3p+2

Merci pour votre réponse
la combinaison linéaire c'est 7a-b=7n²+7-7n²-4=3
si Pgcd(a,b)=3 alors 3 divise b, donc il existe k entier tel que b=3k, donc n²+1=3k.
les diviseurs de a et b sont des diviseurs de 3 (soit 1 ou 3), comme 3 n'est pas possible,donc pgcd(a,b)=1
Mais je comprend pas trop pour la disjonction de cas
Merci

3 n'est pas possible mais il faut le montrer.

Tu calcules b= n²+1 en remplaçant n par 3p.

On obtient b=9p²+1=3(3p²)+1 donc dans ce cas là b a pour reste 1 dans la division par 3, donc b n'est pas divisible par 3.

Tu recommences avec n=3p+1

puis ensuite avec n=3p+2

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