SOS-MATH

On généralise la méthode de César en introduisant un coefficient multiplicateur :
- Soit une lettre du message clair. On appelle W le nombre qui le symbolise dans le tableau.
-on applique à x la fonction affine x-->ax+b, et on le note y le nombre entier compris entre 0 et 25 tel que : y est congru à ax+b modulo 26
-la lettre symbolisé par y dans le tableau est le codage de la lettre choisi initialement.
(Pour le tableau, on prend A=0,B=1(...)Z=25)


1) Uniquement dans cette question, on pose a=2 et b=23
Coder BOBO et commentez le résultat obtenus.

Soient 4 entiers x,x', y et y' compris entre 0 et 25 et tels que :
-y est congru à ax+b modulo26
Y' est congru à ax'+b modulo26

On souhaite que: "si xx', alors yy'". Cela revient à vouloir que "si y=y' alors x=x'".


Supposons donc y=y'
2) Montrer que 26 divise a(x-x')
3) Montrer que si 2 où 13 divisent a, alors on peut avoir xx'
4) On suppose désormais que 2 et 13 ne sont pas des diviseurs de a.
(a) Montrer que PGCD(a,26)=1
(b) En déduire que x=x'
(c) Montrer qu'il existe un entier a' compris entre 0 et 25 tel que : aa' est congru à 1 modulo26 puis que cet entier a' est unique.
(d) En déduire une fonction affine de décodage, c'est à dire permettant de calculer x à partir de y.
5) Décoder UCNEH, sachant que le mot a été codé abec la fonction affine x-->7x+13