SOS-MATH

bonjour,

serait il possible me dire si j'ai bon ?

Etudions l'évolution de la vitesse d'une population d'oeufs et de larves de papillons au cours du temps.
un laboratoire de recherche modélise le nombre M d'oeufs vivants pondus : M(t)=M0*e^-0.3t on a t appartenant à [0;+l'infini[, t est le temps et M(t) est le nombre d'oeufs à t.

1. Proposer une interpretation concrété de M0 : il y a dejà des oeufs qui ont pondus alors que on a pas encore modélisé de nombres d'oeufs vivants
2. M0=1000, etudier les variations de la fonction M
on dérive on a -0.3*e^-0.3t donc sa dérivée est négative donc la fonction sera décroissante
3. Donner sa limite en + l'infini
lim=0 car lim 1000=1000 et lim e^-0.3t = 0
4. Résoudre M(t)=1/2No

5. La fonction N définie sur [0;+l'infini[ associe à l'instant t le nombre de larves vivantes est définie par N(t)=q1e^-0.2t+q2e^-0.3t q1 et q2 sont des constantes fixes
Determiner q1 et q2 où N(0)=M0 et N'(0)=300
je n'ai pas réussi là

6. Demontrer que pour tout nombre rééel positif N'(t)=-300e^-0.2t(4-5e^-0.1t)
je n'ai pas réussi car je ne sais pas si N' est la dérivée ?

7. on note a le nombre reel où e^a=4/5
demontrer que N admet un maximum et le donner

merci d avance

Bonjour Lucie,

Le début semble juste.

Question 5) : tu as \(N(t)=q_1e^{-0.2t}+q_2e^{-0.3t}\)
Donc \(N(0)=q_1e^{-0.2\times 0}+q_2e^{-0.3\times 0}=...\)

Pour utiliser N'(0), il faut commencer par dériver la fonction N.

Voila pour commencer.

SoSMath.

merci beaucoup
N(0)=q1*e^0+q2*e0
= q1*1+q2*1
=q1+q2

N'(t)=q1-0.2e^-0.2t-q20.3e^-0.3t
N'(0)=-q10.2e^-q20.2*0-0.3e^-0.3*0
= -0.2q1-0.3q2

on met un systeme d'équation
q1+q2=1000
-0.2q1+-0.3q2=300

d'après l'équatio 1, on a q1=1000-q2
en substituant dans 2, on obtient
-0.2(1000-q2)+-0.3q2=300
-200+0.2q2-0.3q2=300
-200-0.1q2=300
-0.1q2=500
q2=5000

5000+q2=1000
q2=-4000

mais quand je remplace je ne trouve pas pareil, je ne trouve pas mon erreur je pense sur la dérivée ...

merci

Bonjour,
Ta démarche est correcte mais tu as fait une erreur de signe :

-0.1q2=500
q2=5000

Tu dois avoir \(q_2=-5000\) (tu as oublié le signe - !) donc \(q_1=6000\) et là cela doit marcher.
Reprends cela .

merci beaucoup

donc pour la question suivante, démontrer que
N'(t)=-300e^-0.2t(4-5e^-0.1t)

j'ai fait :
N'(t)=-300e^-0.2t(4-5e^-0.1t)=-1200e^-0.2t+1500e^-0.2t-0.1t
=-1200e^-0.2t+1500e^-0.3t

on retrouve d'après la question precedente N'(t)=q1e^-0.2t+q2e^-0.3t
q1=6000 et q2=-5000

donc N'(t)=6000*-0.2e^-0.2t-5000*-0.3e^-0.3t==-1200e^-0.2t+1500e^-0.3t
mais je ne comprends pas normalement la dérivée de q1 et q2 c'est 0 comme c'est une constante ?

car pour la dérivée si on applique la forule (fg)'=f'g+g'f on ne retrouve plus la meme dérivée

Dans ce cas,
tu as un nombre réel qui multiplie une fonction.
Dans ce cas il ne faut pas trop s'occuper des constantes : \(\left(q_1\times f(t)\right)'=q_2\times f'(t)\)
Donc tu calcules la dérivée "tout simplement".
Ton calcul est juste et il ne faut pas trop se poser de question.
Bon courage

merci beaucoup.
par contre pour la dernière question :
on note a le nombre reel où e^a=4/5
demontrer que N admet un maximum et le donner

je ne voit vraiment pas comment faire. j'ai essayer avec la résolution d'équation f(x)=k en montrant que la fonction est continue mais ça n'a aboutit à rien.

Bonsoir,
Ta dérivée est égale à \(N'(t)=-300e^{-0,2t}\times (4-5e^{-0,1t})\)
Les extrémum (maximum ou minimum) sont à chercher aux valeurs où cette dérivée s'annule : elle s'annule lorsque \(4-5e^{-0,1t}=0\) donc lorsque \(e^{-0,1t}=\frac{4}{5}\)
Donc lorsque \({-0,1}t=a\) donc \(t=...\). Je te laisse terminer, il s'agira de tout exprimer en fonction de \(a\) lorsque tu calculeras l'image du nombre trouvé juste avant....
Bonne continuation.

Merci beaucoup. J ai trouvé t=-a/0,1 ensuite il faut remplacer dans N' ? Si oui, j'ai trouvé -300e^-0,2*-a/0.1 = -1200e^2a+1200e^a mais je n 1i pas compris ce qu il faut faire après

Tu trouves donc : \(t=a\div (-0,1)=-10a\)
Ensuite, il faut remplacer dans l'expression de la fonction de départ : \(N(t)=6000e^{-0,2t}-5000e^{-0,3t}\)
Il faudra ruser un peu en écrivant que \(e^{-0,2t}=e^{-0,2\times(-10a)}=e^{2a}=\left(e^a\right)^2=\left(\frac{4}{5}\right)^2\), car on sait que \(e^a=\frac{4}{5}\)
Même type de calcul pour \(e^{-0,3t}\).
Bon courage.

Merci beaucoup on a donc e^3a=(4/5)^3 je remplace ensuite dans N ? Mais le résultat nous servira à quoi? Merci

Le nombre que tu vas calculer est le nombre maximum de larves vivantes qu'il est possible d'avoir.
C'est toujours intéressant de connaître le maximum d'une population vivante....

Merci donc je remplace et je trouve : -300×(4/5)^2(4-5×e^-10alpha) c est ca car je vois pas comment remplacer le -0,1

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