SOS-MATH

Bonjour

J'aimerais avoir quelques éclaircissements concernant un exo

Dans un corrigé il y a écrit "On déduis donc que 7x² – 4y² ne peut pas être congru à 1 modulo 4 ainsi, l’équation 7x² – 4y² = 1 n’a pas de solution."

Je ne comprends pas le lien, la conséquence.
Je ne comprends pas comment on peut conclure que 7x² – 4y² = 1 n'a pas de solution à partir des congruences.


Merci de m'aider

BOnjour,

7x²-4y² n'est pas congru à 1 modulo 4 . Or 1 est congru à 1 modulo 4. Donc on ne peut avoir l'égalité 7x²-4y²=1. cette équation n'a donc pas de solution

sosmaths

Désolé je ne comprends toujours pas le lien :/

je vais essayer autrement :

Quand deux nombres entiers sont égaux, alors ils ont le même reste dans la division par 4

Donc s'il y a une solution à 7x²-4y²=1, ça signifie qu'on peut trouver x et y tels que 7x²-4y² et 1 ont le même reste dans la division par 4.

Or le reste de 1 dans la division euclidienne par 4 est 1.
Donc le reste de 7x²-4y² doit aussi avoir pour reste 1 dans la division par 4.

Or il a été établi que 7x²-4y² ne peut être congru à 1 modulo 4, donc ne peut avoir 1 comme reste dans la division par 4.

Donc l'équation 7x²-4y²=1 n'a pas de solution.

sosmath

Merci
Vous êtes génial, j'ai tout compris grâce à vous !


Juste une dernière question, l’exercice a pris modulo 4, est-ce qu'on aurait pu prendre un autre modulo ?

on a pris modulo 4 car de cette manière on arrive à montrer l'inéxistence des solutions.

Avec un autre nombre à la place de 4, il est probable que ce n'aurait pas été possible.

sosmaths

Merci

Prouvez que des nombres sont congrus au même nombre modulo n, ne prouve pas qu'ils sont égaux, mais juste qu'ils ont le même reste dans la division avec n (et peuvent être égaux selon les valeurs prises)
Toutefois, prouvez que des nombres ne sont pas congrus au même nombre modulo n prouve qu'ils ne peuvent jamais être égaux.

C'est ça le raisonnement, non ?

tout à fait.

sosmaths