SOS-MATH

Bonjour

J'aimerais quelques renseignements svp.

Pouvez-vous m'expliquer avec des termes simples le principe de la descente infinie svp ? (On a écrit un moment dans la démonstration de l’algorithme d'Euclide : La suite est strictement décroissante d'entiers naturels, donc en un nombre fini d'opérations, on obtient r(n) différent de et r(n+1)=0 (principe de la descente infinie)).

Merci de votre aide

Bonsoir Lucie,

Je suis désolé mais cela ne va pas être possible ... pour avoir des explications il faudra demander à ton professeur !

SoSMath.

Pourquoi ce n'est pas possible ?

Le problème c'est que j'ai un contrôle à la rentrée donc je n'aurais pas le temps de lui demander et ça me perturbe de ne pas comprendre.

Bonjour,
Le principe de descente infinie est un type de raisonnement mathématique, peu utilisé, surtout au lycée, et qui se rencontre essentiellement en arithmétique.
Il repose sur le fait qu'une suite strictement décroissante d'entiers naturels est nécessairement finie et s'arrête à 0.
Le cas le plus simple est bien celui de l'algorithme d'Euclide, quand on recherche \(PGCD(a,b)\).
La division euclidienne produit un reste strictement inférieur au diviseur \(0\leq r< b\).
Comme dans l'algorithme d'Euclide, on effectue la suite des divisions euclidiennes du diviseur par le reste, on a à un rang n donné \(0\leq r_{n+1}<r_n\).
La suite \((r_n)\) ainsi construite est une suite d'entiers strictement décroissante. Elle est nécessairement finie car chaque terme occupe une place strictement inférieure au précédent et comme les restes sont "coincés" entre 0 et \(b\), diviseur de départ, il n'y a qu'un nombre fini d'emplacements pour ces restes. On est donc obligé de s'arrêter à un moment donné :
Il existe un rang \(n_0\), tel que \(r_{n_0}\neq 0\) et \(r_{n_0+1}=0\). On tombe sur le pgcd de \(a\) et \(b\).
C'est ce raisonnement qui permet de "finir" l'algorithme d'Euclide.
est-ce plus clair ?
Bon courage