SOS-MATH

Bonjour voici l'exercice suivant :


u et la suite définie pour tout nombre entier n>1 par :

un=1+1/2+1/3+...+1/n. Thomas affirme : sachant que lim(n tend vers +infini)1/racineden =0, je pense que la limite de la suite u si elle existe, ne peut être infinie, ni même dépasser 10.

Nous avons l'algorithme suivant pour nous aider :
entrée
Saisir la valeur de A
Initialisations
u prend la valeur de 1
k prend la valeur 1
Traitement
tant que u<A
k prend la valeur k+1
u prend la valeur u+1/k
Fin tant que
Sortie
Affichez k

Je suis arrivé a la question suivante :

3A)Montrer que pour tout n>1 et pour tout entier k vérifiant 1<k<n on a 1/racineden < 1/racine de k < 1
3B)En déduire que pour tout n>1 Un >racinede n
3C) Determiner la limite de la suite (Un)

Pour la question 3A je me demande s'il faut faire cette question par récurrence ? Si oui je marquerais ce que j'ai trouvé.
Pour la question 3B je me demande si c'est juste une déduction du résultat de la 3A ou faut -il faire une démarche particulière ?

Je vous remercie d'avance de votre aide :)

Bonjour,
Pour la question 3A, il suffit de partir de \(1<k<n\), d'appliquer la racine carrée à toute l'inégalité ce qui ..... l'inégalité car la fonction \(x\mapsto \sqrt{x}\) est croissante.
Puis passer à l'inverse ce qui ... l'inégalité car la \(x\mapsto \frac{1}{x}\) est décroissante.
Ensuite pour la 3B, il faut faire la somme des inégalités de k=1 jusqu'à n.
au rang 1 :
au rang 2 :
au rang 3 :
...
au rang n :
et ensuite, on fait la somme de ces inégalités : à gauche, on retrouve \(Un=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\) et à droite on retrouve \(n\) fois le nombre \(\frac{1}{\sqrt{n}}\)

(le mieux est de faire une récurrence ici, c'est plus rigoureux).
Bon courage

Merci de votre réponse très rapide.

Pour la question 3A : j'ai fais ceci :

1<k<n
racinecarée1<racinecarée k<racinecarée n
1<1/racinecarée k<racinecarée n

Pour les phrases c'était des petits points ... a compléter? Si oui je ne vois pas.

Pour la question 3B:

pour n = 4 :
U4 > racine carée 4
3.23 >2
La propriété est validée pour n =4 .

Au rang n : Hypothèse : Un>racine carée de n

Au rang n+1 :

On veut montrer que Un+1 > racine carée de n+1

1/racine carrée de n = racine carée de n
donc Un+1 >racine carée de n+1

D’après le principe de récurrence pour tout n >1 Un > racine de n


J'ai donc fais ses deux questions j'attend la confirmation des réponses pour attaquer la dernière question . Merci

Oui,
c'était des petits points à compléter pour montrer le changement ou la conservation du sens de l'inégalité.
Pour la suivante, je voulais te montrer cela :
au rang 1 \(1\geq \frac{1}{\sqrt{n}}\) ;
au rang 2 : \(\frac{1}{\sqrt{2}}\geq \frac{1}{\sqrt{n}}\) ;
au rang 3 : \(\frac{1}{\sqrt{3}}\geq \frac{1}{\sqrt{n}}\) ;
...
au rang n-1 : \(\frac{1}{\sqrt{n-1}}\geq \frac{1}{\sqrt{n}}\) ;
au rang n : \(\frac{1}{\sqrt{n}}\geq \frac{1}{\sqrt{n}}\) ;
quand on fait la somme de ces n inégalités, on a à gauche la somme des \(\frac{1}{\sqrt{k}}\) ce qui correspond à \(U_n\).
Puis à droite, on fait la somme de n fois \(\frac{1}{\sqrt{n}}\) donc ....
est-ce plus clair ?

Bonjour , oui c'est plus clair .

Pour la question 3A j'ai tout compris .
Pour la question 3B on peux conclure que Un est bien plus grand que racine de n . Votre méthode est bien faite en tout cas en montrant pour différents rang . Par contre les symboles je pense que vous vous êtes trompé c'est pas < mais > non ?
Pour la 3C la limite de le suite (Un ) est + infini non ?

Merci

Oui tu as raison je me suis trompé : j'ai corrigé mon message :)
Merci de ta vigilance.
Pour la limite, tu as raison, puisque \(U_n\geq\sqrt{n}\) pour tout n et comme \(\lim_{n\to +\infty}\sqrt{n}=+\infty\) la suite \((U_n)\) a bien pour limite \(+\infty\).
Juste un commentaire : la méthode de sommation sur les n inégalités est visuelle mais si tu voulais être rigoureux, il faudrait que tu le prouves par récurrence.
Bon courage pour la suite

Vous l'avez peut-être fait exprès de vous tromper pour voir si je suivais bien. Merci pour tout vos conseils. J'ai réussi a terminer :)

Oh là, non, nous n'avons pas ce type de pensée "tordue" sur ce forum : l'erreur était bien une vraie erreur de ma part, due à un manque d'attention.
En tout cas, c'est vrai que cela t'a permis d'exercer un contrôle sur les réponses fournies et tu n'as pas "gobé" ma réponse sans réfléchir.
Bon courage pour la suite