SOS-MATH

Bonsoir

f(x)= \(e^{x}\)-x
f'(x)=\(e^{x}\)-1
je ne comprends pas vraiment pourquoi on met "0" dans le tableau de variation?

Merci

Bonsoir,
Tu calcules la dérivée de la fonction afin de trouver les variations de cette fonction.
Le lien entre sens de variation d'une fonction et signe de la dérivée est donné par :
La fonction est croissante sur les intervalles où sa dérivée est positive ;
La fonction est décroissante sur les intervalles où sa dérivées est négative.
Ainsi, il faut étudier le signe de la dérivée, cela revient donc à résoudre une des deux inéquations (la deuxième se déduira de la première) : \(f'(x)\geq 0\) ou \(f'(x)\leq 0\)
Si on veut résoudre \(f'(x)\geq 0\), on doit résoudre \(e^x-1\geq 0\) donc \(e^x\geq 1\) et comme la fonction logarithme est croissante, on peut passer au logarithme en gardant le même ordre : \(\ln(e^x)\geq \ln(1)\) donc \(x\geq 0\), donc
sur \([0\,;\,+\infty[\),\(f'(x)\geq 0\) et f est croissante sur cet intervalle.
Par déduction, sur \(]-\infty\,;\,0]\), \(f'(x)\leq 0\) donc la fonction f est décroissante sur cet intervalle.
Voilà pourquoi le 0 apparait dans le tableau de variation de la fonction.
Est-ce plus clair ?