SOS-MATH

Bonjour, ça fait plusieurs heures que je bloque sur un exercice

on demande de démontrer que la suite Un est décroissante pour tout n appartenant à N
sachant que pourtout x appartenant à R on f(x) = x*e^x
sachant que f(x) = 1/n pour tout n appartient à N
et sachant que la solution de l'équation f(x) = 1/n s'appelle Un
donc j'en ai déduis que f(un) = Un*e^(Un) = 1/n
et donc là j'essaie de sortir le Un mais je n'y arrive pas

y-a-t-il une autre solution que de résoudre cette équation ?
Peux-t-on résoudre cette équation si oui comment ?

Merci de votre réponse

Bonjour Edward,

Tu ne peux pas "sortir" le Un de ton équation Un*e^(Un) = 1/n !
Tu ne peux pas avoir l'expression exacte de Un en fonction de n ...
Par contre tu peux trouver des valeurs approchées de Un, en résolvant de façon approchée les équations f(x) = 1/n.
Par exemple U1 = 0,57 (environ), U2 = 0,35 (environ) ...

SoSMath.

Oui c'est bien ce que j'ai fait, j'ai trouvé un encadrement de U1 et U2 et U3 à 10^-3 prêt mais le problème c'est que ça c'est pas une démonstration puisque on sait simplement que pour 3 cas la suite est décroissante strictement mais comment réussire à prouver qu'elle est dércoissante pour tous les cas, on ne va pas tester tous les cas vu qu'il y en a une infinité et une récurrence ne marcherait pas vu qu'on a pas Un en fonction de qlq chose indépendant de de Un. donc là je vois pas trop comment faire pouvez vous m'aider s'il vous plait.

Edward,

En étudiant la fonction f(x)=xe^x, tu montres qu'elle est strictement croissante sur [0;+inf[ et que f(x) appartient à [0;e].

On va alors montrer que (Un) est décroissante par l'absurde !
On suppose donc qu'il existe un entier k tel que U(k+1) > Uk.
Alors comme f est croissante sur [0;+inf[ et que (Un) est positive (cela se montre facilement), alors f(U(k+1)) > f(Uk) soit 1/(k+1) > 1/k.
Ceci est absurde.
Donc notre hypothèse (il existe un entier k tel que U(k+1) > Uk.) est fausse,
donc sa négation (pour tout entier k (non nul), U(k+1) =< Uk.) est vraie !
Donc (Un) est décroissante.

Je ne vois pas plus simple comme démonstration.
SoSMath.

ah oui, c'est vraie, j'avais rédigé un truc avec des phrases mais c'est vraie que c'est quand même mieux de cette manière, c'est beaucoup plus claire . Merci

A bientôt,
SoSMath.